Giải bài 57 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

**Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).**

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\)

a) Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó.

b) Tìm công thức của \({u_n}\) tính theo \(n\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Do \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{2n\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}\). Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu \({v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}}\), từ đó viết được công thức của \({v_n},{u_n}\) theo \(n\).

Lời giải chi tiết

a) Do \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{2n}}.\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}\).

Suy ra \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{2}\).

Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) có \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{2}\) là hằng số, nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} = - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).

b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - 2} \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{2^{n - 2}}}}\)

Suy ra \({u_n} = n.{v_n} = \frac{{ - n}}{{{2^{n - 2}}}}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 58 trang 58 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Một công ty mua một chiếc máy với giá 1 tỉ 200 triệu đồng. Công ty nhận thấy trong vòng 5 năm đầu, tốc độ khấu hao là 25%/năm
Giải bài 59 trang 58 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Một hình vuông có diện tích bằng 1 đơn vị diện tích. Chia hình vuông thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa.
Giải bài 56 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_2} = 2\), \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\) với \(n \ge 2\).
Giải bài 55 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có tổng \(n\) số hạng đầu là\({S_n} = \frac{{n\left( { - 1 - 5n} \right)}}{2}\)
Giải bài 54 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\)
Giải bài 53 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tổng \(1 + 11 + 101 + 1001 + ..... + 100...01\) (12 số hạng) bằng:
Giải bài 52 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có tất cả các số hạng đều không âm
Giải bài 51 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Giải bài 50 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tổng 20 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 tính từ số 3 là:
Giải bài 48 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) biết ({u_1} = 2), ({u_n} = frac{1}{3}left( {{u_{n - 1}} + 1} right))
Giải bài 49 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:
Giải bài 47 trang 56 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = {5^n} - n\). Số hạng \({u_{n + 1}}\) là: