-
GIẢI TÍCH SBT - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC SBT - TOÁN 12
Bài 3.30 trang 115 SBT hình học 12
Giải bài 3.30 trang 115 sách bài tập hình học 12. Lập phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Đề bài
Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Lập phương trình mặt chắn đi qua các điểm \(A,B,C\).
- Viết công thức tính thể tích tứ diện và đánh giá GTNN.
Lời giải chi tiết
Gọi giao điểm của \((\alpha )\) với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)
(a, b, c > 0).
Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình theo đoạn chắn là: \(\left( \alpha \right):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\) (1)
Do \((\alpha )\) đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} = 1\)
Thể tích của tứ diện OABC là \(V = \dfrac{1}{3}B.h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}OA.OB.OC\) \( = \dfrac{1}{6}abc\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \(1 = \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} + \dfrac{3}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{6}{{abc}}}} \) \( \Rightarrow 1 \ge \dfrac{{27.6}}{{abc}}\)
\( \Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27\)
Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow V = 27 \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{3}{c} = \dfrac{1}{3} \) \(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 3}\\{b = 6}\\{c = 9}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) thỏa mãn đề bài là:
\(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{6} + \dfrac{z}{9} = 1\) hay \(6x + 3y + 2z – 18 = 0\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 3.29 trang 115 SBT hình học 12
- Bài 3.28 trang 115 SBT hình học 12
- Bài 3.27 trang 115 SBT hình học 12
- Bài 3.26 trang 115 SBT hình học 12
- Bài 3.25 trang 115 SBT hình học 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
