Giải bài 3.16 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Ăng-ten vệ tinh parabol ở Hình 3.21 có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng ăng-ten là 240 cm, khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới miệng ăng-ten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh ăng-ten.

Đề bài

Ăng-ten vệ tinh parabol ở Hình 3.21 có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng ăng-ten là 240 cm, khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới miệng ăng-ten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh ăng-ten.

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của parabol là \({y^2} = 2px\)

Trong mặt phẳng Oxy, đỉnh ăng-ten là gốc tọa độ, vị trí đầu thu là tiêu điểm.

Khi đó, tọa độ của đầu thu là \(F(\frac{p}{2};0)\)

Từ hình vẽ, ta suy ra điểm \(M(\frac{p}{2} + 130;\frac{{240}}{2})\) thuộc parabol.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {120^2} = 2p.\left( {\frac{p}{2} + 130} \right) \Leftrightarrow {p^2} + 260p - 14400 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 46,918\\p = - 306,918\end{array} \right. \Rightarrow p \approx 47\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh ăng-ten là \(47:2 = 23,5(cm)\)