Giải bài 27 trang 14 SBT toán 10 - Cánh diều


Chứng minh rằng: a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với \(1 \le k \le n\) b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với \(0 \le k \le n\)

Đề bài

Chứng minh rằng: 

a) \(kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}\) với \(1 \le k \le n\)

b) \(\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\) với \(0 \le k \le n\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức và tính chất của tổ hợp để biến đổi vế phức tạp hơn của các đẳng thức trên

Một số công thức áp dụng: \(n(n - 1)! = n!,k(k - 1)! = k!\)

Lời giải chi tiết

a) Với \(1 \le k \le n\),  biến đổi vế phải ta có:

VP = \(nC_{n - 1}^{k - 1} = \frac{{n(n - 1)!}}{{(k - 1)!\left[ {(n - 1) - (k - 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{n!}}{{(k - 1)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{\frac{{k!}}{k}(n - k)!}}\)\( = k\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) \( = kC_n^k\) = VT (ĐPCM)

b) Với \(0 \le k \le n\),  biến đổi vế phải ta có:

VP = \(\frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!\left[ {(n + 1) - (k + 1)} \right]!}}\)\( = \frac{{(n + 1).n!}}{{(n + 1)(k + 1)!(n - k)!}} = \frac{{n!}}{{(k + 1)!(n - k)!}}\)

     \( = \frac{{n!}}{{(k + 1)k!(n - k)!}} = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}\) \( = \frac{1}{{k + 1}}C_n^k\) = VT (ĐPCM)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí