Giải bài 2.25 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;0;4} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {\rm{b}} {\rm{ = }}\left( {2;7;7} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {2;7;2} \right)\). a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \) và \(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \). b) Tính các tích vô hướng \(\left( { - \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b \) và \(\left( {3\overrightarrow a }

Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba vectơ \(\overrightarrow a = \left( {3;0;4} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {\rm{b}} {\rm{ = }}\left( {2;7;7} \right)\) và \(\overrightarrow c = \left( {2;7;2} \right)\).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c \) và \(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - 4\overrightarrow c \).

b) Tính các tích vô hướng \(\left( { - \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b \) và \(\left( {3\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow c \).

c) Tính côsin của các góc \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Thực hiện phép toán cộng và trừ đối với các vectơ.

Ý b: Biến đổi biểu thức và tính tích vô hướng hai vectơ bằng công thức tọa độ.

Ý c: Tính côsin theo công thức liên hệ với tích vô hướng hai vectơ.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {3 - 2 + 2;0 - 7 + 7;4 - 7 + 2} \right) = \left( {3;0; - 1} \right)\).

\(2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - 4\overrightarrow c = \left( {6 + 6 - 8;0 + 21 - 28;8 + 21 - 8} \right) = \left( {4; - 7;21} \right)\).

b) Ta có:

\(\left( { - \overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b = - \left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) = - \left( {6 + 0 + 28} \right) = - 34\); \(\left( {3\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow c = 3\left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c } \right) = 3\left( {6 + 0 + 8} \right) = 42\).

c) Từ ý b ta có \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 34\) và \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c = 14\).

Ta có \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{34}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \frac{{34}}{{5 \cdot \sqrt {102} }} = \frac{{\sqrt {102} }}{{15}}\);

\(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow c } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow c }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow c } \right|}} = \frac{{14}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {7^2} + {2^2}} }} = \frac{{14}}{{5\sqrt {57} }}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2.26 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( {m;3;6} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {\rm{b}} {\rm{ = }}\left( {1;2;3} \right)\). Xác định giá trị của \(m\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( {3; - 1;0} \right)\). b) \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 10\). c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 9\).
Giải bài 2.27 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1;3; - 3} \right)\), \(B\left( {2;0;5} \right)\), \(C\left( {6;9; - 5} \right)\) và \(D\left( { - 1; - 4;3} \right)\). a) Tìm tọa độ trọng tâm \(I\) của tam giác \(ABC\). b) Tìm tọa độ của điểm \(G\) thuộc đoạn thẳng \(DI\) sao cho\(DG = 3IG\).
Giải bài 2.28 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện \(ABCD\). Trọng tâm \(G\) của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng tọa độ của điểm \(G\) được cho bởi công thức: \({x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}.\)
Giải bài 2.29 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {3;5;2} \right)\), \(B\left( {0;6;2} \right)\) và \(C\left( {2;3;6} \right)\). Hãy giải tam giác \(ABC\).
Giải bài 2.30 trang 54 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Xét hệ tọa độ \(Oxyz\) gắn với hình lập phương như hình vẽ bên. a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình lập phương. b) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(B'CD'\). c) Chứng minh rằng ba điểm \(O,G,A\) thẳng hàng.
Giải bài 2.31 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trên sân thể dục thầy giáo dựng hai chiếc cột vuông góc với mặt sân, chiều cao của một cột lần lượt là 3 m và 2 m. Xét hệ tọa độ \(Oxyz\) sao cho mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) trùng với mặt sân, trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị trong hệ trục tọa độ được lấy theo mét. a) Biết rằng chân của hai cột có tọa độ lần lượt là \(\left( {8;5;0} \right)\) và \(\left( {3;2;0} \right)\), hãy tìm tọa độ điểm đầu của mỗi cột. b) Thầy giáo dự định căng một sợi dây nối hai đầu của hai cột. H
Giải bài 2.32 trang 55 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Hình bên mô tả hai bức tường gạch được xây vuông góc với nhau và cùng vuông góc với mặt đất. Một người thợ xây căng dây giữa hai bức tường. Đầu A của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ 2 là 3 m và cách mặt đất là 1,2 m. Đầu B của sợi dây nằm trên bức tường thứ 2, cách bức tường thứ nhất là 1 m và cách mặt đất là 2 m. a) Hãy lập một hệ trục tọa độ phù hợp và tìm tọa độ của hai đầu \(A,B\) trong hệ tọa độ đó. b) Tính độ dài của sợi dây được căng.