Giải bài 16 trang 98 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Bảng 20 và Bảng 21 lần lượt biểu diễn mẫu số liệu ghép nhóm về nhiệt độ không khí trung bình các tháng năm 2022 tại Bãi Cháy (Quảng Ninh) và Nam Định (đơn vị: độ C).

a) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Bãi Cháy và Nam Định.

b) Trong hai địa điểm Bãi Cháy và Nam Định, địa điểm nào có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn?

Lời giải chi tiết

a)

• Bãi Cháy:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 32 - 14 = 18\).

Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\).

Nhóm 2 có đầu mút trái \(s = 17\), độ dài \(h = 3\), tần số của nhóm \({n_2} = 2\) và nhóm 1 có tần số tích luỹ \(c{f_1} = 1\).

Ta có: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 17 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 20\) (độ C).

Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\).

Nhóm 5 có đầu mút trái \(t = 26\), độ dài \(l = 3\), tần số của nhóm \({n_5} = 2\) và nhóm 4 có tần số tích luỹ \(c{f_4} = 1 + 2 + 1 + 4 = 8\).

Ta có: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 26 + \left( {\frac{{9 - 8}}{2}} \right).3 = 27,5\) (độ C).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 27,5 - 20 = 7,5\) (độ C).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline x  = \frac{{1.15,5 + 2.18,5 + 1.21,5 + 4.24,5 + 2.27,5 + 2.30,5}}{{12}} = 24\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{12}}\left[ {1.{{\left( {15,5 - 24} \right)}^2} + 2.{{\left( {18,5 - 24} \right)}^2} + 1.{{\left( {21,5 - 24} \right)}^2} + 4.{{\left( {24,5 - 24} \right)}^2} + } \right.\\\left. { + 2.{{\left( {27,5 - 24} \right)}^2} + 2.{{\left( {30,5 - 24} \right)}^2}} \right] = 20,75\end{array}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(s = \sqrt {20,75}  \approx 4,5552\).

• Nam Định:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(R = 32 - 14 = 18\).

Nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\).

Nhóm 2 có đầu mút trái \(s = 17\), độ dài \(h = 3\), tần số của nhóm \({n_2} = 2\) và nhóm 1 có tần số tích luỹ \(c{f_1} = 1\).

Ta có: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 17 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 20\) (độ C).

Nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\).

Nhóm 5 có đầu mút trái \(t = 26\), độ dài \(l = 3\), tần số của nhóm \({n_5} = 2\) và nhóm 4 có tần số tích luỹ \(c{f_4} = 1 + 2 + 1 + 3 = 7\).

Ta có: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 26 + \left( {\frac{{9 - 7}}{2}} \right).3 = 29\) (độ C).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 29 - 20 = 9\) (độ C).

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\(\overline x  = \frac{{1.15,5 + 2.18,5 + 1.21,5 + 3.24,5 + 2.27,5 + 3.30,5}}{{12}} = 24,5\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

\(\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{12}}\left[ {1.{{\left( {15,5 - 24} \right)}^2} + 2.{{\left( {18,5 - 24,5} \right)}^2} + 1.{{\left( {21,5 - 24,5} \right)}^2} + 3.{{\left( {24,5 - 24,5} \right)}^2} + } \right.\\\left. { + 2.{{\left( {27,5 - 24,5} \right)}^2} + 3.{{\left( {30,5 - 24,5} \right)}^2}} \right] = 24\end{array}\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(s = \sqrt {24}  \approx 4,899\).

b) Do \(4,5552 < 4,8990\) nên nhiệt độ ở Bãi Cháy đồng đều hơn.