Giải bài 11 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} - m}}{{x - 1}}) ((m) là tham số). a) Tìm (m) để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị. b) Chứng tỏ rằng khi (m = 2), hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Đề bài

Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - m}}{{x - 1}}$ ($m$ là tham số).

a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Chứng tỏ rằng khi $m = 2$, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Để đồ hàm số đã cho có hai điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$.

Đạo hàm

$\begin{array}{l}y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {2{\rm{x}} + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} - m} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\end{array}$

Để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình ${x^2} - 2{\rm{x}} + m - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 2.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - m > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3$.

Vậy với $m < 3$ thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.

b) Vì $m = 2$ thoả mãn điều kiện $m < 3$ nên khi $m = 2$, hàm số có hai điểm cực trị.

Với $m = 2$ hàm số có dạng: $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{x - 1}}$

Đạo hàm $y' = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc ${\rm{x}} = 2$

Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ và ${{y}_{CĐ}}=2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$ và ${y_{CT}} = 6$.

Giả sử phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = ax + b$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\6 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 2\end{array} \right.$

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y = 2x + 2$.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 10 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = \frac{{\left( {m - 1} \right)x - 2}}{{m - 2 - x}}$ ($m$ là tham số). Tìm điều kiện của $m$ để đồ thị hàm số đã cho có một nhánh nằm hoàn toàn trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục toạ độ $Oxy$.
Giải bài 9 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} - 2}}{{{\rm{x}} - 1}}$ a) Tìm toạ độ giao điểm $I$ của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. b) Với $t$ tuỳ ý $\left( {t \ne 0} \right)$, gọi $M$ và $M'$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là ${x_M} = {x_I} - t$ và ${x_{M'}} = {x_I} + t$. So sánh các tung độ ${y_M}$ và ${y_{M'}}$. Từ đó, suy ra rằng hai điểm $M$ và $M'$ đối xứng với nhau qua $I$.
Giải bài 8 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - 2{rm{x}} + 2}}{{{rm{x}} - 1}}); b) (y = - 2{rm{x}} + frac{1}{{2{rm{x}} + 1}}).
Giải bài 7 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{ - x + 3}}$. Chứng tỏ rằng đường thẳng $y = - x$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Giải bài 6 trang 32 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Ta đã biết đồ thị hàm số $y = \frac{{2{\rm{x}} - 1}}{{x + 1}}$ có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = - 1$ và tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$. a) Tìm toạ độ giao điểm $I$ của đường tiệm cận. b) Với $t$ tuỳ ý $\left( {t \ne 0} \right)$, gọi $M$ và $M'$ lần lượt là hai điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là ${x_M} = {x_I} - t$ và ${x_{M'}} = {x_I} + t$. Tìm các tung độ $y\left( {{x_M}} \right)$ và $y\left( {{x_{M'}}} \right)$. Từ đó, chứng minh rằng hai đ
Giải bài 5 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = 3 + frac{1}{x}); b) (y = 2 - frac{1}{{1 + x}}).
Giải bài 4 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của hàm số $y = - {x^3} - 3{x^2} + mx + 1$ có tâm đối xứng nằm trên trục $Ox$? Khi đó, có thể kết luận gì về số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành?
Giải bài 3 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = 2{x^3} + 6{x^2} - x + 2$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó.
Giải bài 2 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số $y = \left( {m - 1} \right){x^3} + 2\left( {m + 1} \right){x^2} - x + m - 1$ ($m$ là tham số). a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi $m = - 1$. b) Tìm giá trị của $m$ để tâm đối xứng của đồ thị hàm số có hoành độ ${x_0} = - 2$.
Giải bài 1 trang 31 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = xleft( {{x^2} - 4x} right)); b) (y = - {x^3} + 3{x^2} - 2).