Giải bài 10 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Một người muốn làm một thùng chứa hình trụ có nắp, có dung tích 500 dm3. Cần chọn bán kính đáy và chiều cao của thùng bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên liệu nhất? Biết đáy và mặt xung quanh của thùng có độ dày như nhau và xác định trước.

Đề bài

Một người muốn làm một thùng chứa hình trụ có nắp, có dung tích 500 dm³. Cần chọn bán kính đáy và chiều cao của thùng bằng bao nhiêu để tiết kiệm nguyên liệu nhất? Biết đáy và mặt xung quanh của thùng có độ dày như nhau và xác định trước.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

• Tìm mối quan hệ giữa \(R,h\), biểu thị diện tích thùng thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết

Thể tích của bể là: \(V = \pi {R^2}h\left( {d{m^3}} \right)\).

Do bể có thể tích 500 dm³ nên ta có: \(\pi {R^2}h = 500 \Rightarrow h = \frac{{500}}{{\pi {R^2}}}\).

Diện tích toàn phần của thùng là: \(S = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\frac{{500}}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \frac{{1000}}{R} + 2\pi {R^2}\).

Xét hàm số \(S\left( R \right) = \frac{{1000}}{R} + 2\pi {R^2}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(S'\left( R \right) = - \frac{{1000}}{{{R^2}}} + 4\pi R\)

\(S'\left( R \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{{1000}}{{{R^2}}} + 4\pi R = 0 \Leftrightarrow \frac{{1000}}{{{R^2}}} = 4\pi R \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{{250}}{\pi }}}\).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S\left( R \right) = S\left( {\sqrt[3]{{\frac{{250}}{\pi }}}} \right)\).

Vậy để tiết kiệm nguyên liệu nhất, cần chọn bán kính \(R = \sqrt[3]{{\frac{{250}}{\pi }}} \approx 4,3\left( {dm} \right)\) và chiều cao\(h = \frac{{500}}{{\pi .{{\left( {\sqrt[3]{{\frac{{250}}{\pi }}}} \right)}^2}}} \approx 8,6\left( {dm} \right)\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 11 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho mạch điện có sơ đồ như Hình 4. Nguồn điện có suất điện động (E = 4V) và điện trở trong (r = 2{Omega }). Điện trở ở mạch ngoài là (Rleft({Omega } right)) thay đổi. Cường độ dòng điện (Ileft( A right)) chạy trong mạch và công suất (Pleft( W right)) của dòng điện ở mạch ngoài được tính lần lượt theo các công thức (I = frac{E}{{r + R}}) và (P = {I^2}R) (Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 49, 51). Điện trở (R) bằng bao nhiêu thì công suất (P
Giải bài 12 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Theo kết quả thăm dò trước một buổi biểu diễn văn nghệ ngoài trời, nếu giá bán mỗi vé là (p) nghìn đồng thì sẽ có ({rm{x}}) người mua vé xem biểu diễn, giữa (p) và ({rm{x}}) có mối liên hệ: (p = 500.{e^{ - 0,0005x}}). Đơn vị tổ chức nên bán vé với giá bao nhiêu thì đạt được doanh thu (tổng số tiền bán vé) cao nhất?
Giải bài 9 trang 23 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Hàm lượng protein, lipid và glucid (tính theo gam) trong 100 g mỗi loại thực phẩm A và B được cho bởi bảng sau: Từ hai loại thực phẩm A và B, người ta muốn tạo ra một lượng thực phẩm chứa ít nhất 480 g protein, 90 g lipid và 2400 g glucid. Biết rằng một kilôgam mỗi loại thực phẩm A và B có giá lần lượt là 80 nghìn đồng, 100 nghìn đồng. Cần chọn bao nhiêu kilôgam mỗi loại thực phẩm A và B để chi phí thấp nhất?
Giải bài 8 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Thức ăn chăn nuôi A gồm 60% bột ngô và 40% bột đậu nành, thức ăn chăn nuôi B gồm 80% bột ngô và 20% bột đậu nành. Hiện tại xí nghiệp sản xuất chỉ còn 2,4 tấn bột ngô và 1,2 tấn bột đậu nành. Với số nguyên liệu này, xí nghiệp đó nên sản xuất khối lượng bao nhiêu mỗi loại sản phẩm A và B để thu được lợi nhuận cao nhất? Biết rằng A cho lợi nhuận 2 triệu đồng/tấn và B cho lợi nhuận 1,8 triệu đồng/tấn.
Giải bài 7 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: \(F = 3x + 5y \to \min \) với ràng buộc \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - y + 4 \ge 0\\4{\rm{x}} + 3y \ge 12\\2{\rm{x}} - 3y \le 6\end{array} \right.\)
Giải bài 6 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giải bài toán quy hoạch tuyến tính: \(F = 40x + 15y \to \max ,\min \) với ràng buộc \(\left\{ \begin{array}{l}5{\rm{x}} + 3y \le 15\\x + 3 \le 3y\\x \ge 0\end{array} \right.\)
Giải bài 5 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chi phí để sản xuất (x) sản phẩm là (Cleft( x right) = 2500 + 10x + frac{1}{4}{x^2}) (nghìn đồng). Chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm là thấp nhất khi số lượng sản phẩm được sản xuất là A. 20. B. 50. C. 100. D. 1000.
Giải bài 4 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một người muốn làm một bể chứa hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích 4 m3, chiều cao 1 m. Biết rằng chi phí làm đáy bể là 3 triệu đồng/m2, chi phí làm thành bể là 2 triệu đồng/m2. Chi phi tối thiểu để làm bể là A. 20. B. 24. C. 28. D. 32.
Giải bài 3 trang 22 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một nhà phân phối có thể thuê tối đa 3 chiếc xe tải loại A và 8 chiếc xe tải loại B để vận chuyển 100 chiếc máy giặt từ nhà máy sản xuất đến nơi tiêu thụ. Mỗi xe loại A chở được tối đa 20 máy giặt với giá cước 3 triệu đồng mỗi chuyến, mỗi xe loại B chở được tối đa 10 máy giặt với giá cước 2 triệu đồng mỗi chuyến. Nếu mỗi xe chỉ chở nhiều nhất một chuyến, số tiền cước tối thiểu (triệu đồng) mà nhà phân phối phải trả là A. 19. B. 17. C. 15. D. 25.
Giải bài 2 trang 21 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức (Fleft( {x;y} right) = 5x + 2y) trên miền ({Omega }) ở Hình 2 là A. 11. B. 17. C. 7. D. 20.
Giải bài 1 trang 21 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giá trị lớn nhất của biểu thức (Fleft( {x;y} right) = 5x - 2y) trên miền ({Omega }) ở Hình 1 là A. 3. B. 22. C. 18. D. 20.