Giải bài 1 trang 20 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi a) Đồ thị của hàm số (y = 3xleft( {2 - x} right)), trục hoành và hai đường thẳng (x = - 1,x = 1). b) Đồ thị của hàm số (y = frac{{4 - x}}{x}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 1,x = 2). c) Đồ thị của hàm số (y = {x^3} - {x^2}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 0,x = 2).

Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

a) Đồ thị của hàm số \(y = 3x\left( {2 - x} \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 1\).

b) Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{4 - x}}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 2\).

c) Đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - {x^2}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0,x = 2\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a,x = b\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết

a) \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {3x\left( {2 - x} \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right|dx} \)

\(3x\left( {2 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\) (loại)

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right|dx} + \int\limits_0^1 {\left| {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right|dx} = \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_{ - 1}^0 {\left( {6{\rm{x}} - 3{{\rm{x}}^2}} \right)dx} } \right|\\ = \left| {\left. {\left( {3{{\rm{x}}^2} - {{\rm{x}}^3}} \right)} \right|_{ - 1}^2} \right| + \left| {\left. {\left( {3{{\rm{x}}^2} - {{\rm{x}}^3}} \right)} \right|_0^1} \right| = 4 + 2 = 6\end{array}\)

b) Vì \(\frac{{4 - x}}{x} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) nên ta có:

\(S = \int\limits_1^2 {\left| {\frac{{4 - x}}{x}} \right|dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{4 - x}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{4}{x} - 1} \right)dx} = \left. {\left( {4\ln {\rm{x}} - x} \right)} \right|_1^2 = 4\ln 2 - 1\).

c) \(S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} \)

\({x^3} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 1\)

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^2 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} = \int\limits_0^1 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {{x^3} - {x^2}} \right|dx} = \left| {\int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} } \right| + \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - {x^2}} \right)dx} } \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1} \right| + \left| {\left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2} \right| = \frac{1}{{12}} + \frac{{17}}{{12}} = \frac{3}{2}\end{array}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 2 trang 20 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính diện tích của hình phẳng được gạch chéo trong mỗi hình sau.
Giải bài 3 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số a) (y = {x^2} + 2x + 1,y = 1 - 2{rm{x}}) và hai đường thẳng (x = - 1) và (x = 2). b) (y = x - 4{x^3},y = 2x) và hai đường thẳng (x = 1,x = 4).
Giải bài 4 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (y = {x^2} - 2x) có đồ thị (left( C right)). Kí hiệu (A) là hình phẳng giới hạn bởi (left( C right)), trục hoành và hai đường thẳng (x = 0,x = 2); (B) là hình phẳng giới hạn bởi (left( C right)), trục hoành và hai đường thẳng (x = 2,x = aleft( {a > 2} right)). Tìm giá trị của (a) để (A) và (B) có diện tích bằng nhau.
Giải bài 5 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Kí hiệu (Sleft( a right)) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = frac{3}{{{x^2}}}), trục hoành và hai đường thẳng (x = 1,x = a) với (a > 1) (Hình 12). Tính giới hạn (mathop {lim }limits_{a to + infty } Sleft( a right)).
Giải bài 6 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một bình chứa nước dạng như Hình 13 có chiều cao là (frac{{3pi }}{2}dm). Nếu lượng nước trong bình có chiều cao là (xleft( {dm} right)) thì mặt nước là hình tròn có bán kính (sqrt {2 - sin x} left( {dm} right)) với (0 le x le frac{{3pi }}{2}). Tính dung tích của bình (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đềximét khối).
Giải bài 7 trang 21 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = 2{x^3}), trục hoành và hai đường thẳng (x = - 1,x = 1). a) Tính diện tích của (D). b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục (Ox).
Giải bài 8 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số (y = {x^2}) và (y = sqrt x ) (Hình 14). a) Tính diện tích của (D). b) Tinh thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) quanh trục (Ox).
Giải bài 9 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Mặt cắt ngang của lòng máng dẫn nước là hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như Hình 15 (phần được tô màu xám). Tính diện tích của mặt cắt ngang đó.
Giải bài 10 trang 22 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (Hình 16). Tính dung tích của bể cá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối). Gợi ý: Có thể coi bể cá là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = sqrt {4 - {x^2}} ) với ( - 2 le x le 1), trục hoành và đường thẳng (x = 1) quanh trục hoành.