Bài 8 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (left( {{u_n}} right)) sau, biết số hạng tổng quát:

Đề bài

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau, biết số hạng tổng quát:

a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)

b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng khái niệm, định nghĩa tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) \(u_n = \frac{n}{n+1}\)

Xét hiệu

\(u_{n+1} - u_n = \frac{n+1}{n+2} - \frac{n}{n+1}\)

\(= \frac{n^2 + 2n + 1 - n^2}{n^2 + 3n + 2} = \frac{n^2 + n + 1}{n^2 + 3n + 2} > 0\)

Do đó \(u_n + 1 > u_n \quad (1)\)

Ta có: \(u_n = \frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}\)

Vì \(0 < \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2} \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \) nên \( -\frac{1}{2} \leq -\frac{1}{n+1} < 0 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2} \leq 1 - \frac{1}{n+1} < 1 \) với mọi \( n \in \mathbb{N}^*\)

hay \(\frac{1}{2} \leq u_n < 1\) với mọi \( n \in \mathbb{N}^* \quad (2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn.

b) \(u_n = \frac{2}{5^n}\)

Xét hiệu

\(u_{n+1} - u_n = \frac{2}{5^{n+1}} - \frac{2}{5^n}\)

\(= \frac{2 - 2 \cdot 5}{5^{n+1}} = \frac{2 - 10}{5^{n+1}} = -\frac{8}{5^{n+1}} < 0\)

Do đó \(u_n + 1 < u_n \quad (3)\)

Vì \(0 < \frac{2}{5^n} \leq \frac{2}{5}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}^* \quad (4)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.9 trên 11 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 9 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)). Tìm số hạng đầu ({u_1}), công sai d trong mỗi trường hợp sau:
Bài 10 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)). Tìm số hạng đầu ({u_1}), công bội q trong mỗi trường hợp sau:
Bài 11 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.
Bài 12 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Người ta trồn cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây,… ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?
Bài 13 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là (12,,288,,{m^2}). Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.
Bài 14 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Một khay nước có nhiệt độ (23^circ C) được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.
Bài 15 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Một hình vuông ({C_1}) có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thàng bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp
Bài 16 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?
Bài 7 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?
Bài 6 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Cho cấp số nhân (left( {{u_n}} right)) có ({u_1} = - 1), công bộ (q = - frac{1}{{10}}). Khi đó (frac{1}{{{{10}^{2017}}}}) là số hạng thứ:
Bài 5 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Trong các dãy số (left( {{u_n}} right)) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?
Bài 4 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:
Bài 3 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right)) có số hạng đầu ({u_1} = - 5), công sai d = 4.
Bài 2 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
Bài 1 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) được xác định bởi: ({u_1} = frac{1}{3}) và ({u_n} = 3{u_{n - 1}}) với mọi (n ge 2). Số hạng thứ năm của dãy số (left( {{u_n}} right)) là: