Bài 28 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Cho tứ diện SABC

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tứ diện SABC có \(SC = CA = AB = a\sqrt 2 ,SC \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm \(M \in SA,N \in BC\) sao cho \(AM = CN = t(0 < t < 2a)\)

LG a

Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng A, tia Ox chứa AC, tia Oy chứa AB và tia Oz cùng hướng tới tia CS (h.98). Khi đó, ta có:

\(A(0;0;0),B(0;a\sqrt 2 ;0),C(a\sqrt 2 ;0;0),\)

\(S(a\sqrt 2 ;0;a\sqrt 2 ),\)

\(\eqalign{  & M\left( {{{t\sqrt 2 } \over 2};0;{{t\sqrt 2 } \over 2}} \right);N\left( {a\sqrt 2  - {{t\sqrt 2 } \over 2};{{t\sqrt 2 } \over 2};0} \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {\sqrt 2 (a - t);{{t\sqrt 2 } \over 2}; - {{t\sqrt 2 } \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow  {MN}  = \sqrt {2({a^2} - 2at + {t^2}) + {{{t^2}} \over 2} + {{{t^2}} \over 2}}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{t^2} - 4at + 2{a^2}}   \cr  &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{{\left( {t - {{2a} \over 3}} \right)}^2} + {{2{a^2}} \over 3}}  \ge {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr} \)

Dấu "=" xảy ra khi \(t = {{2a} \over 3}\) thỏa mãn điều kiện 0 < t < 2a.

Vậy MN ngắn nhất bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\) khi \(t = {{2a} \over 3}.\)

LG b

Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA.

Lời giải chi tiết:

Khi MN ngắn nhất thì :

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {{{a\sqrt 2 } \over 3};{{a\sqrt 2 } \over 3}; - {{a\sqrt 2 } \over 3}} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SA}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow MN\) là đường vuông góc chung của SA và BC.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí