Bài 1.77 trang 26 SBT Giải tích 12 Nâng cao


Giải bài 1.77 trang 26 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Chứng minh rằng trong các hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và thể tích là 1000, hình lập phương có diện tích toàn phần là nhỏ nhất.

Đề bài

Chứng minh rằng trong các hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và thể tích là 1000, hình lập phương có diện tích toàn phần là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Gọi \(x,h\) lần lượt là kích thước cạnh đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật.

Thể tích \(V = {x^2}h = 1000 \Rightarrow h = \frac{{1000}}{{{x^2}}}\)

Diện tích toàn phần:

\({S_{tp}} = 4.xh + 2.{x^2}\) \( = 4x.\frac{{1000}}{{{x^2}}} + 2{x^2}\) \( = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x}\)

Ta có:

\({S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{4000}}{x}\) \( = 2{x^2} + \frac{{2000}}{x} + \frac{{2000}}{x}\)

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương \(2{x^2},\frac{{2000}}{x},\frac{{2000}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{tp}} = 2{x^2} + \frac{{2000}}{x} + \frac{{2000}}{x}\\ \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\frac{{2000}}{x}.\frac{{2000}}{x}}}\\ = 3\sqrt[3]{{8000000}}\\ = 600\end{array}\)

\( \Rightarrow \min {S_{tp}} = 600\) khi

\(\begin{array}{l}2{x^2} = \frac{{2000}}{x} \Leftrightarrow 2{x^3} = 2000\\ \Leftrightarrow {x^3} = 1000 \Leftrightarrow x = 10\\ \Rightarrow h = \frac{{1000}}{{{{10}^2}}} = 10\end{array}\)

Vậy diện tích toàn phần nhỏ nhất khi hình hộp đó là hình lập phương.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí