Bài 27 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao


Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

LG a

Chứng minh \({A'C}  \bot (AB'D').\)

Lời giải chi tiết:

Thiết lập hệ trục tọa độ như hình vẽ (h.97).Ta có

A(0;0;0); A’(0;0;a); C’(a;a;a); D(0;a;0)

B(a;0;0); D’(0;a;a); B’(a;0;a), C(a;a;0).

Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {A'C}  = (a;a; - a),  \cr  & \overrightarrow {AB'}  = (a;0;a),\overrightarrow {AD'}  = (0;a;a)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AB'}  = 0,\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {AD'}  = 0  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {A'C}  \bot \overrightarrow {{\rm{AB'}}} ,\overrightarrow {A'C}  \bot \overrightarrow {AD'}   \cr  &  \Rightarrow A'C \bot mp(AB'D'). \cr} \)

LG b

Gọi là trung điểm của AD, N là trung điểm của BB’. Chứng minh \(A'C \bot MN.\)

Lời giải chi tiết:

Ta lại có :

\(\eqalign{  & N(a;0;{a \over 2}),M\left( {0;{a \over 2};0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {a; - {a \over 2};{a \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {A'C}  = {a^2} - {{{a^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 2} = 0 \Rightarrow MN \bot A'C. \cr} \)

LG c

Tính cô sin của góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {AC'} \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {AC'}  = (a;a;a)\) nên

\(\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = {{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \over {\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = {{{a^2} - {{{a^2}} \over 2} + {{{a^2}} \over 2}} \over {\sqrt {{{3{a^2}} \over 2}} .\sqrt {3{a^2}} }} = {{\sqrt 2 } \over 3}\)

LG d

Tính \({V_{A'CMN}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{  & {V_{A'CMN}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {A'N} .\overrightarrow {A'M} } \right].\overrightarrow {A'C} } \right|.  \cr  &  \cr} \)

Ta có :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {A'N}  = (a;0; - {a \over 2}),\overrightarrow {A'M}  = \left( {0;{a \over 2}; - a} \right).  \cr  &   \left[ {\overrightarrow {A'N} ,\overrightarrow {A'M} } \right] = \left( {\left| \matrix{  0 \hfill \cr  {a \over 2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - {a \over 2} \hfill \cr   - a \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{   - {a \over 2} \hfill \cr  a \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  a \hfill \cr   \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  a \hfill \cr   \hfill \cr  0 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  0 \hfill \cr  {a \over 2} \hfill \cr}  \right|} \right) \cr&= \left( {{{{a^2}} \over 4};{a^2};{{{a^2}} \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow {V_{A'CMN}} = {1 \over 6}\left| {{{{a^3}} \over 4} + {a^3} - {{{a^3}} \over 2}} \right| = {1 \over 6}\left| {{{3{a^3}} \over 4}} \right| = {{{a^3}} \over 8}. \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí