Nghiệm và biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Toán 10

Cặp số \(({x_0};{y_0})\) thoả mãn \(a{x_0} + b{y_0} \le c\) được gọi là một nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\).

Nghiệm của các bất phương trình \(ax + by < c\); \(ax + by > c\); \(ax + by \ge c\) được định nghĩa tương tự.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ minh hoạ:

Cặp số \((2; - 1)\) là một nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y \ge  - 5\), vì  \(3.2 + 2.( - 1) = 4 \ge  - 5\).

Cặp số \(( - 2;0)\) không là một nghiệm của bất phương trình \(3x + 2y \ge  - 5\), vì  \(3.( - 2) + 2.0 =  - 6 <  - 5\).

Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\) là tập hợp các điểm \(({x_0};{y_0})\) sao cho \(a{x_0} + b{y_0} \le c\).

Miền nghiệm của các bất phương trình \(ax + by < c\); \(ax + by > c\); \(ax + by \ge c\) được định nghĩa tương tự.

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\).

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\).

Bước 2: Lấy điểm \(A({x_0};{y_0})\) không thuộc \(\Delta \). Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) rồi so sánh với c.

Bước 3: Kết luận:

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).

+ Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(A({x_0};{y_0})\).

Chú ý: Đường thẳng \(\Delta :ax + by = c\) là tập hợp các điểm (x;y) thoả mãn \(ax + by = c\).

Do đó miền nghiệm của các bất phương trình \(ax + by < c\); \(ax + by > c\) không chứa đường thẳng \(\Delta \) (hay không kể bờ \(\Delta \)), khi đó ta thường vẽ \(\Delta \) bằng nét đứt.

Ví dụ minh hoạ:

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y > 2\).

Giải:

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(\Delta :2x - y = 2\) (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).

Bước 2: Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(\Delta \). Ta có \(2.0 - 0 = 0\) và \(c = 2\).

Bước 3: Vì  \(2.0 - 0 = 0 < 2\) nên điểm \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).