Cách xác định bất phương trình bậc nhất hai ẩn của miền nghiệm cho trước - Toán 10

Bước 1: Xác định đường thẳng giới hạn miền nghiệm có dạng tổng quát \(y = ax + b\).

+ Tìm toạ độ 2 điểm thuộc đường thẳng đó.

+ Từ 2 điểm trên, thay toạ độ tương ứng vào phương trình \(y = ax + b\), được một hệ 2 phương trình ẩn a, b.

+ Giải hệ tìm a, b. Kết luận đường thẳng có phương trình \(y = ax + b\) hay \(ax – y = b\).

Bước 2: Thay toạ độ 1 điểm bất kì thuộc nửa mặt phẳng miền nghiệm (không thuộc đường thẳng) vào biểu thức \(ax – y \).

+ Đường thẳng được biểu diễn bằng nét đứt: Nếu \(ax – y > b\) thì kết luận bất phương trình là \(ax – y > b\), nếu \(ax – y < b\) thì kết luận bất phương trình là \(ax – y < b\).

+ Đường thẳng được biểu diễn bằng nét liền: Tương tự như trên, thay dấu < thành \(\le\), thay dấu > thành \(\ge\).

1) Phần không bị gạch (kể cả d) ở hình dưới là miền nghiệm của bất phương trình:

A. \(2x - 3y \le  - 12\)

B. \(2x - 3y \ge  - 12\)

C. \(3x - 2y \le 12\)

D. \(3x - 2y \ge 12\)

Giải:

Gọi đường thẳng d có dạng: y = ax + b.

d đi qua (-6;0) và (0;4) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}0 =  - 6a + b\\4 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow y = \frac{2}{3}x + 4 \Leftrightarrow 2x - 3y =  - 12\).

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d, ta có 2.0 – 3.0 = 0 > – 12, mà điểm O không thuộc miền nghiệm.

Do đó bất phương trình cần tìm là \(2x - 3y \le  - 12\).

Chọn A.

2) Nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả d) ở hình dưới là miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. \(2x - y \le 0\)

B. \(2x - y \ge 0\)

C. \(x - 2y \ge 0\)

D. \(x - 2y \le 0\)

Giải:

Gọi PT đường thẳng d là: \(y = ax + b\) (\(a \ne 0\)).

Đường thẳng d đi qua gốc toạ độ \((0;0)\), suy ra: \(0 = a \cdot 0 + b \Leftrightarrow b = 0\) (1).

Đường thẳng d đi qua điểm có toạ độ \((1;2)\), suy ra: \(2 = a \cdot 1 + b \Leftrightarrow a + b = 2\).

Mà \(b = 0\) nên \(a + 0 = 2 \Leftrightarrow a = 2\).

Phương trình đường thẳng d là: \(y = 2x\) hay \(2x - y = 0\). Ta có: \(2 \cdot 0 - 2 =  - 2 < 0\).

Dễ thấy điểm \((0;2)\) thuộc vào miền nghiệm và \(2 \cdot 0 - 2 =  - 2 < 0\) nên BPT cần tìm là \(2x - y \le 0\).

Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch ở hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(2x - y \le 0\).

Chọn A.

3) Nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể d) ở hình dưới là miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. \(3x + y < 3\)

B. \(x + 3y > 3\)

C. \(x + 3y < 3\)

D. \(3x + y > 3\)

Giải:

Gọi PT đường thẳng d là: \(y = ax + b\) (\(a \ne 0\)).

Đường thẳng d đi qua điểm có toạ độ \((1;0)\), suy ra: \(0 = a \cdot 1 + b \Leftrightarrow a + b = 0\) (1).

Đường thẳng d đi qua điểm có toạ độ \((0;3)\), suy ra: \(3 = a \cdot 0 + b \Leftrightarrow b = 3\).

Thay \(b = 3\) vào (1) ta được: \(a + 3 = 0 \Leftrightarrow a =  - 3\).

Khi đó phương trình đường thẳng d là: \(y =  - 3x + 3\) hay \(3x + y = 3\).

Dựa vào hình vẽ ta thấy điểm \((0;0)\) không thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho và \(3 \cdot 0 + 0 = 0 < 3\) nên BPT đó là: \(3x + y > 3\).

Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể d) ở Hình 3 biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình \(3x + y > 3\).

Chọn D.