Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Kết nối tri thức

1.Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

1.Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

a) Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx} \)

b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức

\(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \)

2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi \(\beta \) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó thể tích V của vật thể \(\beta \) được tính bởi công thức

\(V = \int\limits_a^b {S(x)dx} \)

b) Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\).

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được hình khối gọi là một khối tròn xoay.

Khi cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm \(x \in \left[ {a;b} \right]\) được một hình tròn có bán kính f(x).

Thể tích của khối tròn xoay này là

\(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)\(\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 19,20,21 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Giải mục 2 trang 22,23,24 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể
Giải bài tập 4.14 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.
Giải bài tập 4.15 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) \(y = {e^x},y = {x^2} - 1,x = - 1,x = 1\); b) \(y = \sin x,y = x,x = \frac{\pi }{2},x = \pi \); c) \(y = 9 - {x^2},y = 2{x^2},x = - \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \); d) \(y = \sqrt x ,y = {x^2},x = 0,x = 1\).
Giải bài tập 4.16 trang 25 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình \(y = x\) sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz \(y = f\left( x \right)\), biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với \(0 \le x \le 100\), biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Loren
Giải bài tập 4.17 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: \(y = 2x - {x^2},y = 0,x = 0,x = 2\).
Giải bài tập 4.18 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h\(\left( {0 < h \le R} \right)\) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \(y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \), trục hoành và hai đường thẳng \(x = R - h,x = R\) xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Giải bài tập 4.19 trang 26 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Cho tam giác vuông OAB có cạnh \(OA = a\) nằm trên trục Ox và \(\widehat {AOB} = \alpha \left( {0 < \alpha \le \frac{\pi }{4}} \right)\). Gọi \(\beta \) là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31). a) Tính thể tích V của \(\beta \) theo a và \(\alpha \). b) Tìm \(\alpha \) sao cho thể tích V lớn nhất.