Lý thuyết Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Cùng khám phá


1. Tính diện tích hình phẳng Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

1. Tính diện tích hình phẳng

Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính bằng công thức

S=ab|f(x)|dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x24, trục hoành và các đường thẳng x = -2, x = 3.

Giải:

Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm. Ta có:

S=23|x24|dx=S=22|x24|dx+S=23|x24|dx

22(x24)dx+23(x24)dx=(x33+4x)|22+(x334x)|32=13 (đvdt).

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), g(x) liên tục trên [a;b] và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức

S=ab|f(x)g(x)|dx

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x22, y=x và các đường thẳng x = -1, x= 2.

Giải:

Ta có xx22 với x[1;2].

Diện tích hình phẳng đã cho là:

S=12|x22x|dx=12(x2+2+x)dx=(x33+x22+2x)|21=92 (đvdt).

Chú ý:

Nếu hàm số f(x) – g(x) không đổi dấu trên đoạn [a;b] thì:

S=ab|f(x)g(x)|dx=|ab[f(x)g(x)]dx|.

2. Tính thể tích vật thể

Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x (axb) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể có diện tích S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b]. Khi đó thể tích V của vật thể B được tính bởi công thức

V=abS(x)dx

Ví dụ: Hãy sử dụng tích phân tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy bằng S (không đổi) và chiều cao h.

Giải:

Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, hai đáy nằm trong mặt phẳng vuông góc với Ox tại x= 0, x = h.

Khi cắt khối lăng trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x (axb), thì phần chung giữa mặt phẳng và khối lăng trụ là một hình phẳng có diện tíchS(x)=S không đổi.

Thể tích khối lăng trụ là:

V=0hS(x)dx=0hSdx=(Sx)|h0=Sh (đvdt).

Tính thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b].

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

V=πabf2(x)dx

Ví dụ 1: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng quay quanh trục hoành y=x22x, y = 0, x = 2.

Giải:

Thể tích khối tròn xoay là:

V=π02(x22x)2dx=π02(x44x3+4x2)dx

=π(x55x4+43x3)|20=16π15 (đvdt).

Ví dụ 2: Hình vẽ mô phòng phần bên trong của một chậu cây có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của đồ thị hàm số y=x+32 với 0x4 quanh trục hoành. Tính thể tích phần bên trong (dung tích) của chậu cây, biết đơn vị trên các trục Ox, Oy là decimét.

Giải:

Thể tích phần trong của chậu cây là:

V=π04(x+32)2dx=π04(x+3x12+94)2dx=π(x22+2x32+94x)|40=33π (dm3).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải mục 1 trang 22, 23, 24, 25, 26 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Trong Hình 4.10, gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (y = x - 3), trục hoành và các đường thẳng (x = 1) và (x = 6).

  • Giải mục 2 trang 26, 27, 28, 29, 30 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Trong không gian Oxyz, cho một khối nón có đỉnh O, chiều cao bằng 8, bán kính đáy bằng 3, và có trục trùng với Ox. Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x (0x8) thì phần chung giữa mặt phẳng và khối nón là một hình tròn có diện tích S(x) thay đổi theo x (Hình 4.19) (khối nón là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón kể cả hình nón đó).

  • Giải bài tập 4.19 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Tính diện tích hình phẳng được gạch chép trong Hình 4.26.

  • Giải bài tập 4.20 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như Hình 4.27 và diện tích hai phần A,B lần lượt bằng 11 và 2. Tính 21f(x)dx.

  • Giải bài tập 4.21 trang 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: a) y=ex,y=0,x=0,x=2; b) y=2x2,y=1,x=0,x=1; c) y=x24,y=2x4,x=0,x=2.

>> Xem thêm

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.