Toán 12 Kết nối tri thức | Giải toán lớp 12 Kết nối tri thức Bài 14. Phương trình mặt phẳng - Toán 12 Kết nối tri thức

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng Toán 12 Kết nối tri thức


1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng a) Khái niệm vecto pháp tuyến

1. Vecto pháp tuyến và cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng

a) Khái niệm vecto pháp tuyến

Vecto \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) được gọi là vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nếu giá của \(\overrightarrow n \) vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\).

b) Tích có hướng của hai vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\) và \(\overrightarrow v  = (a';b';c')\). Khi đó vecto  vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), được gọi là tích có hướng của \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \), kí hiệu là \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).

c) Cặp vecto chỉ phương

Trong không gian Oxyz, hai vecto \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) được gọi là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P)

Nếu \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) là cặp vecto chỉ phương của (P) thì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\) là một vecto pháp tuyến của (P).

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng 

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) có phương trình là:

\(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + Cz + D = 0\), với \(D =  - (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0})\)

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) có thể thực hiện theo các bước sau:

  • Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\).
  • Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \)

Bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng:

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

  • Tìm cặp vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).
  • Tìm vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\).
  • Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \)

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

\(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta  \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'}  = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó:

\(\left( \alpha  \right) \bot \left( \beta  \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n  \bot \overrightarrow {n'}  \Leftrightarrow AA' + BB' + CC' = 0\).

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

\(\left( \alpha  \right):Ax + By + Cz + D = 0,\left( \beta  \right):A'x + B'y + C'z + D' = 0,\) với hai vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\), \(\overrightarrow {n'}  = (A';B';C')\) tương ứng. Khi đó:

\(\left( \alpha  \right)//\left( \beta  \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {n'}  = k\overrightarrow n \\D' \ne kD\end{array} \right.\) với k nào đó.

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:

\(d(M,(P)) = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}B{y_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}C{z_0}{\rm{ }} + {\rm{ }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store