Giải mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Từ các công thức cộng, hãy tính:

a) \(\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)\) theo \(\cos a\) và \(\cos b\).

b) \(\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)\) theo \(\sin a\) và \(\sin b\).

c) \(\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)\) theo \(\sin a\) và \(\cos b\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng vào các công thức trên.

Lời giải chi tiết:

a) \(\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b + \cos a\cos b - \sin a\sin b = 2\cos a\cos b\)

b) \(\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b - \cos a\cos b + \sin a\sin b = 2\sin a\sin b\)

c) \(\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b - \cos a\sin b + \sin a\cos b + \cos a\sin b = 2\sin a\cos b\)

Luyện tập 3

Không dùng máy tính cầm tay, tính \(\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{17\pi }}{{12}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

\[\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\]

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{{12}}\cos \frac{{17\pi }}{{12}} = \frac{{\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} - \frac{{17\pi }}{{12}}} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{17\pi }}{{12}}} \right)}}{2} = \frac{{\sin \left( { - \frac{{4\pi }}{3}} \right) + \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{2}\\ = \frac{{ - \frac{1}{2} - 1}}{2} =  - \frac{3}{4}\end{array}\)

Hoạt động 4

Nếu đặt u = a – b và v = a + b trong các công thức:  

\(\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right];\)

\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\)

thì ta thu được các công thức nào theo u và v?

Phương pháp giải:

Thay a – b = u, a + b = v, \(a = \frac{{u + v}}{2}, - b = \frac{{u - v}}{2}\)vào công thức.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\cos a\cos b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \cos a\cos \left( { - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) + \cos \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos u + \cos v} \right)\\ \Leftrightarrow 2\cos \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \cos u + \cos v\\\sin a\cos \left( { - b} \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a - b} \right) + \sin \left( {a + b} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\sin u + \sin v} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {\frac{{u + v}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{u - v}}{2}} \right) = \sin u + \sin v\end{array}\)

Luyện tập 4

Chứng minh \(\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{\cos \frac{{3\pi }}{{17}} + \cos \frac{{5\pi }}{{17}}}} =  - \frac{1}{2}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác.

\(\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \)

\(\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}\cos \left( { - \frac{\pi }{{17}}} \right)}} = \frac{{\cos \frac{\pi }{{17}}\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}\cos \frac{\pi }{{17}}}} = \frac{{\cos \frac{{13\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}}\\ = \frac{{\cos \left( {\pi  - \frac{{4\pi }}{{17}}} \right)}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} = \frac{{ - \cos \frac{{4\pi }}{{17}}}}{{2\cos \frac{{4\pi }}{{17}}}} =  - \frac{1}{2}.\end{array}\)