Giải mục 2 trang 6, 7, 8, 9 Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh diều

Hoạt động 2

Cho vectơ \(\vec u\) và điểm M trong mặt phẳng. Hãy xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \vec u\)  (Hình 3).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 3, xác định điểm M' thỏa mãn \(\overrightarrow {MM'}  = \vec u\)  

Lời giải chi tiết:

Cách xác định điểm M' trong mặt phẳng sao cho: \(\overrightarrow {MM'}  = \vec u\)

- Qua M kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ  (hoặc trùng với giá của vectơ \(\vec u\) nếu điểm M thuộc giá của vectơ \(\vec u\)).

- Trên đường thẳng d, lấy điểm M' sao cho \(MM' = \left( {\vec u} \right)\), và hướng từ M đến M' cùng hướng với vectơ \(\vec u\). (Tham khảo Hình 3)

Luyện tập 1

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Xác định ảnh của các điểm N, P, C, A, M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} .\)

Phương pháp giải:

Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết:

+ Vì M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra MN // AC và MN =  AC. Do đó, \(\overrightarrow {NM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \,\,(1)\).Vì O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC, do đó \(OA = \frac{1}{2}AC\). Suy ra \(\overrightarrow {OA}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {OA} \,\,(3)\)

Vậy ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm M.

+ Vì P và Q lần lượt là trung điểm của CD và DA nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC, suy ra PQ // AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). Do đó, \(\overrightarrow {PQ}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CA} \) (4)

Từ (2) và (4) suy ra \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {OA} \)

Vậy ảnh của điểm P qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm Q.

+ Vì O là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {CO}  = \overrightarrow {OA} \).

Vậy ảnh của điểm C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm O.

+ Lấy điểm E đối xứng với điểm O qua điểm A, khi đó A là trung điểm của OE.

Suy ra \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {OA} \).

Vậy ảnh của điểm A qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là điểm E.

+ Lấy điểm F đối xứng với điểm N qua điểm M, khi đó M là trung điểm của NF.

Suy ra \(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {MF} \,\,(5)\)

Từ (3) và (5) suy ra \(\overrightarrow {MF}  = \overrightarrow {OA} \).

Vậy ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OA} \)

Hoạt động 3

Cho phép tịnh tiến \({T_{\vec u}}\) và hai điểm M, N. Giả sử \(M' = {T_{\vec u}}\left( M \right),\,N' = {T_{\vec u}}\left( N \right)\)

a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow {MM'} \,\) và \(\overrightarrow {NN'} \) theo \(\vec u\).

b) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {M'N'} \) và \(\overrightarrow {MN} \).

c) So sánh các đoạn thẳng M'N' và MN.

Phương pháp giải:

+ Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \).

+ Dựa vào quy tắc  3 điểm để làm

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(M' = {T_{\vec u}}\left( M \right)\)  nên \(\overrightarrow {MM'}  = \vec u\).

Vì \(N' = {T_{\vec u}}\left( N \right)\)  nên \(\overrightarrow {NN'}  = \vec u\). 

b) Theo quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'N}  = \overrightarrow {MM'}  + \overrightarrow {M'N'}  + \overrightarrow {N'N}  = \vec u + \overrightarrow {M'N'}  + \left( { - \overrightarrow {NN'} } \right) = \vec u + \overrightarrow {M'N'}  + \left( { - \vec u} \right) = \overrightarrow {M'N'} \)Vậy \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'} \).

c) Vì \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {M'N'} \)  nên MN = M'N'.

Hoạt động 4

Xét phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {MN} \) (Hình 5).

a) Xác định các điểm A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm thẳng hàng A, B, C qua phép tịnh tiến trên.

b) Nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Phương pháp giải:

Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết:

a) Vì A', B', C' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {MN} \) nên ta xác định các điểm A', B', C' bằng cách lấy các điểm đó thỏa mãn: \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {MN} \) (như hình vẽ trên).

b) Vì \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {MN} \)  nên \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'} \), suy ra ABB'A' là hình bình hành.

Do đó, \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} \,\,(1)\)

Vì \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MN} ,\,\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {MN} \) nên \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'} \), suy ra ACC'A' là hình bình hành.

Do đó, \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'C'} \,\,(2)\)

Vì A, B, C là 3 điểm thẳng hàng với B nằm giữa A và C nên \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,(k \ne 0)\)  (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\overrightarrow {A'B'}  = k\overrightarrow {A'C'} \)

Vậy ba điểm A', B', C' thẳng hàng với B' nằm giữa A' và C'.

Luyện tập 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 3. Xác định ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\)

Phương pháp giải:

Xác định ảnh của tâm O qua phép tịnh tiến bằng cách:

Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Sau đó xác định ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến.

Lời giải chi tiết:

Ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\) là một đường tròn bán kính bằng 3, gọi là (C').

Gọi O' là tâm của (C'). Ta có O' là ảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\vec u = \left( {3;\,4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OO'}  = \vec u = \left( {3;\,4} \right)\). Suy ra O'(3; 4).

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C') có tâm O'(3; 4), bán kính bằng 3.