Giải mục 2 trang 4, 5, 6 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 4 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Một học sinh giải phương trình \(x + \frac{1}{{x - 2}} = 2 + \frac{1}{{x - 2}}\) như sau:

“Chuyển các biểu thức chứa ẩn sang một vế:

\(x + \frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x - 2}} = 2\).

Thu gọn vế trái, ta giải được \(x = 2\)”.

Giá trị \(x = 2\) có phải là nghiệm của phương trình ban đầu không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Thay giá trị \(x = 2\) vào phương trình để kiểm tra nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(x + \frac{1}{{x - 2}} = 2 + \frac{1}{{x - 2}}\), ta được:

\(\begin{array}{l}2 + \frac{1}{{2 - 2}} = 2 + \frac{1}{{2 - 2}}\\2 + \frac{1}{0} = 2 + \frac{1}{0}\end{array}\)

Không có phân số nào có mẫu là 0, nên phương trình \(2 + \frac{1}{0} = 2 + \frac{1}{0}\) là vô lý.

Vậy \(x = 2\) không là nghiệm của phương trình ban đầu.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 5 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a. \(\frac{x}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\);

b. \(1 + \frac{{4x - 6}}{{x - 4}} = \frac{3}{{x - 4}}\).

Phương pháp giải:

Cho các mẫu trong phương trình khác 0 để tìm điều kiện xác định của phương trình.

Lời giải chi tiết:

a. Phương trình \(\frac{x}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{x + 2}}\) được xác định khi \(x - 5 \ne 0\) và \(x + 2 \ne 0\) hay \(x \ne 5\) và \(x \ne  - 2\).

b. Phương trình \(1 + \frac{{4x - 6}}{{x - 4}} = \frac{3}{{x - 4}}\) được xác định khi \(x - 4 \ne 0\) hay \(x \ne 4\).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 5 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Xét phương trình \(\frac{2}{x} = \frac{3}{{x + 1}}\).

a. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

b. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi bỏ mẫu để thu được một phương trình mới.

c. Giải phương trình mới ở câu b.

d. Giá trị của ẩn x tìm được ở câu c có thỏa mãn điều kiện xác định có phải là nghiệm của phương trình ban đầu không?

Phương pháp giải:

Thực hiện từng bước của câu hỏi để giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

a. Phương trình \(\frac{2}{x} = \frac{3}{{x + 1}}\) được xác định khi \(x \ne 0\) và \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne 0\) và \(x \ne  - 1\).

b. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được:

\(\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{3x}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\).

Sau khi bỏ mẫu, ta được phương trình:

\(2\left( {x + 1} \right) = 3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {1a} \right)\).

c. Giải phương trình (1a):

\(\begin{array}{l}2\left( {x + 1} \right) = 3x\\2x + 2 = 3x\\3x - 2x = 2\\x = 2.\end{array}\)

d. Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện xác định nên nó là nghiệm của phương trình ban đầu.

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 6 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Giải các phương trình sau:

a. \(1 + \frac{{3x - 2}}{{x - 4}} = \frac{2}{{x - 4}}\);

b. \(\frac{{2x + 3}}{x} = \frac{{8x - 1}}{{4\left( {x - 2} \right)}}\).

Phương pháp giải:

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình;

+ Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi bỏ mẫu;

+ Giải phương trình vừa nhận được;

+ Kiểm tra điều kiện xác định và kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.

Lời giải chi tiết:

a. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 4\).

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{x - 4}}{{x - 4}} + \frac{{3x - 2}}{{x - 4}} = \frac{2}{{x - 4}}\\x - 4 + 3x - 2 = 2\\4x - 6 = 2\\4x = 8\\x = 2.\end{array}\)

Ta thấy \(x = 2\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 2\).

b. Điều kiện xác định của phương trình là \(x \ne 0\) và \(x \ne 2\).

Quy đồng mẫu hai vế và bỏ mẫu, ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3} \right)}}{{4x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x\left( {8x - 1} \right)}}{{4x\left( {x - 2} \right)}}\\\left( {4x - 8} \right)\left( {2x + 3} \right) = 8x_{}^2 - x\\8x_{}^2 + 12x - 16x - 24 = 8x_{}^2 - x\\8x_{}^2 + 12x - 16x - 8x_{}^2 + x = 24\\ - 3x = 24\\x =  - 8.\end{array}\)

Ta thấy \(x =  - 8\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x =  - 8\).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 6 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Một đội máy xúc trên công trường đào được \(8000m_{}^3\) đất trong đợt làm việc thứ nhất và \(10000m_{}^3\) đất trong đợt làm việc thứ hai. Biết rằng thời gian làm việc của đội trong mỗi đợt là bằng nhau và mỗi ngày trong đợt thứ hai đội đào nhiều hơn \(50m_{}^3\) so với mỗi ngày trong đợt thứ nhất. Tìm năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong mỗi đợt.

Phương pháp giải:

+ Gọi ẩn x, tìm điều kiện của x;

+ Biểu diễn bài toán về phương trình ẩn x;

+ Giải phương trình ẩn x, đối chiếu điều kiện của x;

+ Kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong đợt 1 là x (\(m_{}^3/\)ngày, \(x > 0\)).

Năng suất trung bình mỗi ngày của đội trong đợt 2 là \(x + 50\)(\(m_{}^3/\) ngày).

Thời gian làm việc của đội trong đợt 1 là: \(\frac{{8000}}{x}\) (ngày).

Thời gian làm việc của đội trong đợt 2 là: \(\frac{{10000}}{{x + 50}}\) (ngày).

Do thời gian làm việc của đội trong mỗi đợt là bằng nhau nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}\frac{{8000}}{x} = \frac{{10000}}{{x + 50}}\\\frac{{8000\left( {x + 50} \right)}}{{x\left( {x + 50} \right)}} = \frac{{10000x}}{{x\left( {x + 50} \right)}}\\8000x + 400000 = 10000x\\10000x - 8000x = 400000\\2000x = 400000\\x = 200.\end{array}\)

Ta thấy \(x = 200\) thỏa mãn điều kiện của x.

Vậy trung bình mỗi ngày đợt 1 đội làm được \(200\)(\(m_{}^3/\)ngày), trung bình mỗi ngày đợt 2 đội làm được \(250\) (\(m_{}^3/\)ngày).