Giải mục 2 trang 18, 19, 20 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Luyện tập 3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tại một xưởng sản xuất, chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm mỗi tháng là

\(C\left( x \right) = 5000 + 50x + 0,005{x^2}\) (nghìn đồng).

a) Tính chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm.

b) Mỗi tháng xưởng sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm thấp nhất?

Phương pháp giải:

• Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\).

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm là

\(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{5000 + 50x + 0,005{x^2}}}{x} = \frac{{5000}}{x} + 50 + 0,005x\) với \(x > 0\).

b) Ta có: \(\overline C '\left( x \right) =  - \frac{{5000}}{{{x^2}}} + 0,005\)

\(\overline C '\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{{5000}}{{{x^2}}} + 0,005 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1000000 \Leftrightarrow x = 1000\).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S = f\left( {1000} \right) = 60\).

Vậy chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm thấp nhất (là 6 triệu đồng trên mỗi sản phẩm) khi mỗi tháng xưởng sản xuất 1000 sản phẩm.

Luyện tập 4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cơ sở A chuyên cung cấp một loại sản phẩm nông nghiệp X cho nhà phân phối B. Hai bên thoả thuận rằng, nếu đầu tháng B đặt hàng 1 tạ sản phẩm X thì giá bán mỗi tạ sản phẩm là \(P\left( x \right) = 5 - 0,0005{x^2}\) (triệu đồng) \(\left( {x \le 40} \right)\). Chi phí A phải bỏ ra cho \(x\) tạ sản phẩm X trong một tháng là \(C\left( x \right) = 10 + 3,5x\) (triệu đồng).

a) Nếu trong một tháng A bán \(x\) tạ sản phẩm X cho B thì A nhận được bao nhiêu doanh thu, bao nhiêu lợi nhuận?

b) Trong một tháng B đặt hàng bao nhiêu tạ sản phẩm X từ A thì A nhận được lợi nhuận lớn nhất?

Phương pháp giải:

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).

Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Doanh thu mà A nhận được khi bán \(x\) tạ sản phẩm X là:

\(R\left( x \right) = x.P\left( x \right) = 5x - 0,0005{x^3}\) (triệu đồng) với \(0 \le x \le 40\).

Lợi nhuận mà A nhận được khi bán \(x\) tạ sản phẩm X là:

\(L\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = \left( {5x - 0,0005{x^3}} \right) - \left( {10 + 3,5x} \right) =  - 0,0005{x^3} + 1,5{\rm{x}} - 10\) (triệu đồng) với \(0 \le x \le 40\).

Xét hàm số \(L\left( x \right) =  - 0,0005{x^3} + 1,5{\rm{x}} - 10\) trên đoạn \(\left[ {0;40} \right]\).

Ta có: \(L'\left( x \right) =  - 0,0015{x^2} + 1,5\)

\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt {10} \) hoặc \(x =  - 10\sqrt {10} \) (loại).

\(f\left( 0 \right) =  - 10;f\left( {10\sqrt {10} } \right) \approx 21,6;f\left( {40} \right) = 18\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;40} \right]} f\left( x \right) = f\left( {10\sqrt {10} } \right) \approx 21,6\).

Vậy trong một tháng, A nhận được lợi nhuận lớn nhất là 21,6 triệu đồng khi B đạt \(10\sqrt {10}  \approx 31,6\) tạ sản phẩm X.

Vận dụng

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 20 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Hiện tại, mỗi tháng một cửa hàng đồ lưu niệm bán được 100 sản phẩm A. Với mỗi sản phẩm A bán được, cửa hàng thu được 20 nghìn đồng lợi nhuận. Qua khảo sát, người ta thấy rằng với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10 sản phẩm A. Cửa hàng nên giảm giá bao nhiêu cho mỗi sản phẩm A để thu được lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm này? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Phương pháp giải:

• Giả sử cửa hàng giảm giá \(x\) nghìn đồng cho mỗi sản phẩm A, biểu thị lợi nhuận lớn nhất từ việc bán sản phẩm thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Giả sử cửa hàng giảm giá \(x\left( {x > 0} \right)\) nghìn đồng cho mỗi sản phẩm A.

Mỗi tháng cửa hàng bán được số sản phẩm là \(100 - 10x\).

Với mỗi sản phẩm bán được, cửa hàng thu được lợi nhuận là \(20 - x\) nghìn đồng (lợi nhuận có thể âm).

Lợi nhuận cửa hàng thu được từ bán sản phẩm A là:

\(L = \left( {100 + 10x} \right)\left( {20 - x} \right) =  - 10{x^2} + 100x + 2000\) (nghìn đồng).

Xét hàm số \(y =  - 10{x^2} + 100x + 2000\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(y' =  - 20x + 100\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  - 20x + 100 = 0 \Leftrightarrow x = 5\)

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = y\left( 5 \right) = 2250\).

Do đó, lợi nhuận L lớn nhất là 225 000 đồng, đạt được khi cửa hàng giảm giá 5000 đồng cho mỗi sản phẩm A.