Giải mục 1 trang 15, 16, 17, 18 Chuyên đề học tập Toán 12 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình vuông và thể tích chứa là \(500d{m^3}\) (Hình 1). Biết rằng chiều cao của thùng trong khoảng từ \(3dm\) đến \(10dm\).
a) Nếu gọi độ dài cạnh đáy của thùng là \(x\left( {dm} \right)\), chiều cao của thùng là \(h\left( {dm} \right)\) thì tổng diện tích các mặt của thùng, kí hiệu \(S\), có thể được biểu thị bằng biểu thức nào?
b) Có thể biểu thị tổng diện tích \(S\) theo \(x\) không? Biến \(x\) nhận giá trị trong miền nào?
c) Với giá trị nào của \(x\) thì \(S\) có giá trị nhỏ nhất?

Phương pháp giải:

• Biểu thị \(S\) thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là \(x\left( {dm} \right)\), chiều cao của thùng là \(h\left( {dm} \right)\).

Diện tích xung quang của thùng là: \(4{\rm{x}}{\rm{.h}}\left( {d{m^2}} \right)\).

Diện tích đáy của thùng là: \({x^2}\left( {d{m^2}} \right)\).

Tổng diện tích các mặt của thùng là: \(S = {x^2} + 4{\rm{x}}h\left( {d{m^2}} \right)\) với \(x > 0,3 \le h \le 10\).

b) Từ giả thiết \(V = {x^2}h \Leftrightarrow 500 = {x^2}h \Leftrightarrow h = \frac{{500}}{{{x^2}}}\).

Khi đó \(S = {x^2} + 4\,.\,\frac{{500}}{{{x^2}}}x = {x^2} + \frac{{2000}}{x}\left( {x > 0} \right)\).

c) Ta có: \(S' = 2{\rm{x}} - \frac{{2000}}{{{x^2}}}\)

\(S' = 0 \Leftrightarrow x = 10\).

Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} S = f\left( {10} \right) = 300\). Khi đó \(h = \frac{{500}}{{{{10}^2}}} = 5\left( {dm} \right)\) thoả mãn điều kiện \(3 \le h \le 10\).

Vậy với \(x = 10\left( {dm} \right)\) thì \(S\) có giá trị nhỏ nhất.

Luyện tập 1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 17 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Hai nhà máy được đặt tại các vị trí \(A\) và \(B\) cách nhau 4 km. Nhà máy xử lí nước thải được đặt ở vị trí \(C\) trên đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), cách trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) một khoảng là 3 km. Người ta muốn làm đường ống dẫn nước thái từ hai nhà máy \(A,B\) đến nhà máy xử lí nước thải \(C\) gồm các đoạn thẳng \(AI,BI\) và \(IC\), với \(I\) là vị trí nằm giữa \(M\) và \(C\) (Hình 4). Cần chọn vị trí điểm \(I\) như thế nào để tổng độ dài đường ống nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Phương pháp giải:

• Đặt \(IM = x\), biểu thị \(IA + IB + IC\) thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\):

Bước 1. Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó \(f'\left( x \right)\) bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính \(f\left( a \right);f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);f\left( b \right)\).

Bước 3. Gọi \(M\) là số lớn nhất và \(m\) là số nhỏ nhất trong các giá trị tìm được ở Bước 2. Khi đó: \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(IM = x\left( {km} \right)\left( {0 \le x \le 3} \right)\).

Ta có: \(IA = IB = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}}  = \sqrt {{x^2} + 4} ;IC = MC - IM = 3 - x\)

Tổng độ dài đường ống là: \(IA + IB + IC = 2\sqrt {{x^2} + 4}  + 3 - x\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2\sqrt {{x^2} + 4}  + 3 - x\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2.\frac{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1 = 2.\frac{{2{\rm{x}}}}{{2\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1 = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} - 1\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{2{\rm{x}}}}{{\sqrt {{x^2} + 4} }} = 1 \Leftrightarrow 2{\rm{x}} = \sqrt {{x^2} + 4}  \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} = {x^2} + 4 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) hoặc \(x =  - \frac{2}{{\sqrt 3 }}\) (loại).

\(f\left( 0 \right) = 7;f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = 3 + 2\sqrt 3 ;f\left( 3 \right) = 2\sqrt {13} \).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = 3 + 2\sqrt 3 \).

Vậy \(IM = \frac{2}{{\sqrt 3 }} \approx 1,155\left( {km} \right)\) thì tổng độ dài đường ống nhỏ nhất bằng \(3 + 2\sqrt 3  \approx 6,464\left( {km} \right)\).

Luyện tập 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 18 Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo

Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân có độ dài đáy bé bằng độ dài cạnh bên và bằng \(a\left( {cm} \right)\) không đổi (Hình 5). Gọi \(\alpha \) là một góc của hình thang cân tạo bởi đáy bé và cạnh bên \(\left( {\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi } \right)\). Tìm \(\alpha \) để diện tích mặt cắt ngang của máng lớn nhất.

Phương pháp giải:

• Biểu thị diện tích mặt cắt ngang của máng thông qua các đại lượng đã biết và ẩn.

• Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng hay nửa khoảng bằng đạo hàm:

‒ Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập hợp đó.

‒ Căn cứ vào bảng biến thiên, kết luận giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Dựng \(AH \bot BC\). Khi đó \(AH = h\) là chiều cao của mặt cắt ngang.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {ABH} = \pi  - \alpha  \Rightarrow h = AB.\sin \widehat {ABH} = a\sin \left( {\pi  - \alpha } \right) = a\sin \alpha \\BH = AB.\cos \widehat {ABH} = a\cos \left( {\pi  - \alpha } \right) =  - a\cos \alpha \\A{\rm{D}} = BC + 2BH = a - 2a\cos \alpha \end{array}\)

Diện tích của mặt cắt ngang là:

\(S = \frac{1}{2}\left( {A{\rm{D}} + BC} \right).AH = \frac{1}{2}\left( {a + a - 2{\rm{a}}\cos \alpha } \right).a\sin \alpha  = {a^2}\left( {1 - \cos \alpha } \right)\sin \alpha  = {a^2}\left( {\sin \alpha  - \frac{1}{2}\sin 2\alpha } \right)\).

Xét hàm số \(f\left( \alpha  \right) = \sin \alpha  - \frac{1}{2}\sin 2\alpha \) trên \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).

Ta có: \(f'\left( \alpha  \right) = \cos \alpha  - \cos 2\alpha \)

\(\begin{array}{l}f'\left( \alpha  \right) = 0 \Leftrightarrow \cos \alpha  - \cos 2\alpha  = 0 \Leftrightarrow \cos 2\alpha  = \cos \alpha \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\alpha  = \alpha  + k2\pi \\2\alpha  =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = k2\pi \\3\alpha  = k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha  = k2\pi \\\alpha  = k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \alpha  = k\frac{{2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Do \(\alpha  \in \left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\).

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng \(\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\):

Từ bảng biến thiên, ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{2};\pi } \right)} f\left( \alpha  \right) = f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy diện tích mặt cắt ngang của máng dẫn nước có giá trị lớn nhất bằng \({a^2}.\frac{{3\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) khi \(\alpha  = \frac{{2\pi }}{3}\).