Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 2. Tích phân - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 4.13 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Tính các tích phân sau: a) \(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx\); b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx\); c) \(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx\); d) \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx\); e) \(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx\); g) \(\int_1^4 | 5 - 3x|dx\).

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx\);

b) \(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx\);

c) \(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx\);

d) \(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx\);

e) \(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx\);

g) \(\int_1^4 | 5 - 3x|dx\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tích phân đa thức: Sử dụng tính chất phân phối của tích phân và tính các tích phân bậc nhất hoặc bậc hai.

- Tích phân lượng giác: Sử dụng các công thức lượng giác, chẳng hạn như công thức hạ bậc hoặc các công thức đồng nhất.

- Tích phân hàm mũ: Dùng công thức tích phân cơ bản của hàm mũ.

- Tích phân có giá trị tuyệt đối: Chia miền tích phân thành các đoạn nhỏ hơn sao cho hàm bên trong giá trị tuyệt đối có thể bỏ dấu trị tuyệt đối.

Lời giải chi tiết

a)

\(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = \int_{ - 1}^2 {({x^2} + x)} dx = \int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx + \int_{ - 1}^2 x dx\)

Tính từng phần:

\(\int_{ - 1}^2 {{x^2}} dx = \frac{{{x^3}}}{3}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3,\)

\(\int_{ - 1}^2 x dx = \frac{{{x^2}}}{2}|_{ - 1}^2 = \frac{{{2^2}}}{2} - \frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.\)

Kết quả:

\(\int_{ - 1}^2 x (x + 1)dx = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}.\)

b)

Sử dụng công thức hạ bậc:

\({\cos ^2}\frac{x}{2} = \frac{{1 + \cos x}}{2}.\)

Tính tích phân:

\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1 + \cos x)} dx = \frac{1}{2}\left( {\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx} \right).\)

Tính từng phần:

\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dx = \frac{\pi }{2},\quad \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos } xdx = \sin x|_0^{\frac{\pi }{2}} = 1 - 0 = 1.\)

Kết quả:

\(\int_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}} \frac{x}{2}dx = \frac{1}{2}\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right) = \frac{{\pi  + 2}}{4}.\)

c)

Sử dụng công thức tích phân của hàm mũ:

\(\int {{a^{bx}}} dx = \frac{{{a^{bx}}}}{{b\ln a}}.\)

Tính tích phân:

\(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \int_1^2 2  \cdot {2^{ - 3x}}dx = 2\int_1^2 {{2^{ - 3x}}} dx.\)

Áp dụng công thức:

\(2\int {{2^{ - 3x}}} dx = 2 \cdot \frac{{{2^{ - 3x}}}}{{ - 3\ln 2}} =  - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}.\)

Thay cận:

\( - \frac{{{2^{ - 3x + 1}}}}{{3\ln 2}}|_1^2 =  - \frac{{{2^{ - 5}}}}{{3\ln 2}} + \frac{{{2^{ - 2}}}}{{3\ln 2}} = \frac{1}{{3\ln 2}}\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{32}}} \right) = \frac{1}{{3\ln 2}} \cdot \frac{7}{{32}}.\)

Kết quả:

\(\int_1^2 {{2^{1 - 3x}}} dx = \frac{7}{{96\ln 2}}.\)

d)

Sử dụng công thức: 

\({\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1.\)

Tính tích phân:

\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1)} dx = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx - \int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx.\)

Tính từng phần:

\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x|_0^{\frac{\pi }{4}} = 1 - 0 = 1,\)

\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} 1 dx = \frac{\pi }{4}.\)

Kết quả:

\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\tan }^2}} xdx = 1 - \frac{\pi }{4}.\)

e)

Chia thành hai tích phân:

\(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \int_1^4 {{e^{2x + 1}}} dx - 3\int_1^4 x \sqrt x dx.\)

Tính từng phần:

- Với \({e^{2x + 1}}\), đặt \(u = 2x + 1\), \(du = 2dx\), ta có:

\(\int {{e^{2x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int {{e^u}du = \frac{{{e^u}}}{2}}  = \frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}.\)

Thay cận:

\(\frac{{{e^{2x + 1}}}}{2}|_1^4 = \frac{{{e^9}}}{2} - \frac{{{e^3}}}{2}.\)

- Với \(x\sqrt x  = {x^{3/2}}\), ta có:

\(\int {{x^{3/2}}} dx = \frac{2}{5}{x^{5/2}}.\)

Thay cận:

\(\frac{2}{5}{x^{5/2}}|_1^4 = \frac{2}{5}(32 - 1) = \frac{{62}}{5}.\)

Kết quả:

\(\int_1^4 {\left( {{e^{2x + 1}} - 3x\sqrt x } \right)} dx = \frac{{{e^9} - {e^3}}}{2} - \frac{{186}}{5}.\)

g)

Tìm điểm đổi dấu:

\(5 - 3x = 0\quad {\rm{khi}}\quad x = \frac{5}{3}.\)

Chia khoảng tích phân:

\(\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx + \int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx.\)

Tính tích phân trên đoạn \([1,\frac{5}{3}]\):

\(\int_1^{\frac{5}{3}} {(5 - 3x)} dx = 5x - \frac{{3{x^2}}}{2}|_1^{\frac{5}{3}} = \frac{{25}}{3} - \frac{{25}}{6} - \left( {5 - \frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3}.\)

Tính tích phân trên đoạn \([\frac{5}{3},4]\):

\(\int_{\frac{5}{3}}^4 {(3x - 5)} dx = \frac{{3{x^2}}}{2} - 5x|_{\frac{5}{3}}^4 = 4 - \left( { - \frac{{25}}{6}} \right) = \frac{{49}}{6}.\)

Kết quả cuối cùng:

\(\int_1^4 | 5 - 3x|dx = \frac{2}{3} + \frac{{49}}{6} = \frac{{53}}{6}.\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài tập 4.14 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Một quả bóng được ném lên từ độ cao \(1,5m\) với vận tốc ban đầu \(24m/s\). Biết gia tốc của quả bóng là \(a = - 9,8m/{s^2}\). a) Tính vận tốc của quả bóng tại thời điểm 1 giây sau khi được ném lên. b) Tính quãng đường quả bóng đi được từ lúc ném lên đến khi chạm đất lần đầu.

  • Giải bài tập 4.15 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Đường gấp khúc ABD trong Hình 4.8 là đồ thị vận tốc \(v(t)\) của một vật (t = 0 là thời điểm vật bắt đầu chuyển động). Trong khoảng thời gian mà \(v < 0\)thì vật chuyển động ngược chiều với khoảng thời gian mà \(v > 0\). a) Viết công thức của hàm số \(v(t)\) với \(t \in [0;9]\). b) Biết rằng quãng đường vật đi chuyển với vận tốc \(v = v(t)\) từ thời điểm \(t = a\) đến thời điểm \(t = b\) là \(s = \int_a^b | v(t)|{\mkern 1mu} dt\), tính quãng đường vật di chuyển được trong 9 giây kể từ khi vật

  • Giải bài tập 4.16 trang 20 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Một lò xo có chiều dài tự nhiên là \({l_0} = 10{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\)(Hình 4.9a). Để kéo giãn lò xo \(x{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\) cần một lực có độ lớn \(f(x) = kx{\mkern 1mu} ({\rm{N}})\), trong đó \(k\) là độ cứng của lò xo và có giá trị không đổi. (Hình 4.9b). a) Tìm \(k\), biết dưới tác dụng của một lực 40 N, lò xo bị giãn và chiều dài của lò xo khi ấy là \({l_1} = 15{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\). b) Nếu một lực có độ lớn \(f(x){\mkern 1mu} ({\rm{N}})\) làm biến dạng lò xo từ độ giãn \(a{\mke

  • Giải bài tập 4.17 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Hiệu suất của tim là lưu lượng máu được bơm bởi tim trên một đơn vị thời gian (lưu lượng máu chảy vào động mạch chủ). Để đo hiệu suất của tim, người ta bơm \(A\) (mg) chất chỉ thị màu vào tâm nhĩ phải, chảy qua tim rồi vào động mạch chủ và đo nồng độ chất chỉ thị màu còn lại ở tim đến thời điểm \(T(s)\) khi chất chỉ thị màu tan sạch. Gọi \(c(t)\) là nồng độ \(({\rm{mg/l}})\) chất chỉ thị màu tại thời điểm \(t\) (s) thì hiệu suất của tim được xác định bởi: \(F = \frac{A}{{\int_0^T c (t)dt}}{\mk

  • Giải bài tập 4.18 trang 21 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

    Ở \({45^^\circ }C\), phản ứng hóa học phân hủy \({N_2}{O_5}\) xảy ra theo phương trình: \({N_2}{O_5} \to 2N{O_2} + \frac{1}{2}{O_2}\) với nồng độ \(c(t)\) (mol/L) của \({N_2}{O_5}\) \((c(t) > 0)\) tại thời điểm \(t\) giây (t \( \ge 0\)) thỏa mãn \(c'(t) = - 0,0005c(t)\). Biết khi \(t = 0\), nồng độ ban đầu của \({N_2}{O_5}\) là 0,05 mol/L. a) Xét hàm số \(y(t) = \ln c(t)\) với \(t \ge 0\). Tính \(y'(t)\), từ đó tìm \(y(t)\). b) Biết rằng nồng độ trung bình của \({N_2}{O_5}\) (mol/L) từ thờ

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store