Giải bài tập 2.24 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3). a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; -2; 1), C(-1; -2; -3).

a) Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I và chu vi của hình bình hành này.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Để chứng minh ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác, ta kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không. Tính các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \), sau đó tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \). Nếu tích vô hướng bằng tích độ dài của hai vectơ, tức là , thì ba điểm thẳng hàng; ngược lại, chúng tạo thành một tam giác.

b) Trọng tâm G của tam giác ABC được xác định bằng công thức:

\(G\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)

c) Điểm D được xác định bằng cách sử dụng tính chất của hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} .\) Tọa độ của tâm I của hình bình hành ABCD là trung điểm của hai đường chéo, và chu vi hình bình hành là 2(AB + BC).

Lời giải chi tiết

a) Tính các vectơ:

\(\overrightarrow {AB} = (1; - 4; - 2), \overrightarrow {AC} = ( - 2; - 4; - 6)\)

Tích vô hướng:

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 1( - 2) + ( - 4)( - 4) + ( - 2)( - 6) = - 2 + 16 + 12 = 26\)_.

Độ dài của các vectơ:

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 2)}^2}} = \sqrt {21}, \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {{{( - 2)}^2} + {{( - 4)}^2} + {{( - 6)}^2}} = \sqrt {56} \)

So sánh:

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \approx \sqrt {21} \times \sqrt {56} = \sqrt {1176} \ne 26\)

Do đó, ba điểm A, B, C không thẳng hàng và tạo thành một tam giác.

b) Tọa độ trọng tâm \(G\):

\(G\left( {\frac{{1 + 2 - 1}}{3};\frac{{2 - 2 - 2}}{3};\frac{{3 + 1 - 3}}{3}} \right) = G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\)

c) Điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \), tức là \(\vec C - \vec D = \vec B - \vec A\), nên tọa độ D sẽ là:

\(D = (A - B) + C = (1 - 2;2 - ( - 2);3 - ( - 3)) + ( - 1; - 2; - 3) = ( - 2;2;3)\)

Tọa độ tâm I của hình bình hành ABCD :

\(I = \frac{{A + C}}{2} = \frac{{(1;2;3) + ( - 1; - 2; - 3)}}{2} = (0;0;0)\)

Chu vi hình bình hành ABCD :

\(AB = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{( - 2 - 2)}^2} + {{(1 - 3)}^2}} = \sqrt {1 + 16 + 4} = \sqrt {21} \)

\(BC = \sqrt {{{( - 1 - 2)}^2} + {{( - 2 - ( - 2))}^2} + {{( - 3 - 1)}^2}} = \sqrt {9 + 0 + 16} = \sqrt {25} = 5\)

\(P = 2 \times (\sqrt {21} + 5)\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 2.25 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, các đỉnh B, D, A’ tương ứng thuộc các tia Ox, Oy, Oz và AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. a) Tìm tọa độ các đỉnh của hình hộp. b) Tìm điểm E trên đường thẳng DD’ sao cho \(B'E \bot A'C'\).
Giải bài tập 2.26 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(2; -1; 1). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).
Giải bài tập 2.27 trang 82 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
a) Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương OABC.O’A’B’C’ với O(0;0;1), A(1;0;0), C(0;1;0) (Hình 2.45). G là trung điểm của đường chéo OB’ của hình lập phương. - Chứng minh rằng ACO’B’ là một tứ diện đều. - Tìm toạ độ các điểm B’ và G. Chứng minh rằng (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GC} + overrightarrow {GO'} + overrightarrow {GB'} = vec 0). Điểm G được gọi là trọng tâm của tứ diện đều ACO’B’.
Giải bài tập 2.28 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, lực không đổi \(\vec F = 3\vec i + 5\vec j + 10\vec k\) làm di chuyển một vật dọc theo đoạn thẳng từ \(M(1;0;2)\) đến \(N(5;3;8)\). Tìm công sinh ra nếu khoảng cách được tính bằng mét và lực được tính bằng newton.
Giải bài tập 2.29 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, một máy bay đang bay ở vị trí A(250;465;15) với tốc độ \(\vec v = (455;620;220)\) thì vào một vùng có gió với tốc độ \(\vec u = (37; - 12;4)\) (đơn vị tốc độ là km/giờ. Máy bay bay vùng gió này mất 30 phút. Tìm vị trí của máy bay sau 30 phút đó.
Giải bài tập 2.30 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho tứ diện ABCD. Khi đó, vectơ \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \) bằng A. \(\overrightarrow {BC} \). B. \(\overrightarrow {AD} \). C. \(\overrightarrow {CB} \). D. \(\overrightarrow {DA} \).
Giải bài tập 2.31 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hình hộp (ABCD cdot {A^prime }{B^prime }{C^prime }{D^prime }). Khi đó, vectơ (overrightarrow {AB} + overrightarrow {{A^prime }{D^prime }} + overrightarrow {C{C^prime }} ) bằng A. (overrightarrow {{A^prime }C} ). B. (overrightarrow {A{C^prime }} ). C. (overrightarrow {C{A^prime }} ). D. (overrightarrow {{C^prime }A} ).
Giải bài tập 2.32 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hai vectơ \(\vec a = (2;4;1),\vec b = ( - 4;0;4)\). Toạ độ của vectơ \(\vec a + \vec b\) là A. \(( - 2; - 4; - 5)\). B. \(( - 2; - 4;5)\). C. \(( - 2;4;5)\). D. \((2;4; - 5)\).
Giải bài tập 2.33 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho ba điểm \(A(3;5;2),B(2;2;1),C(1; - 1;4)\). Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \) là A. \((3;9;1)\). B. \(( - 3; - 9;1)\). C. \((6;6;7)\). D. \((1;3; - 3)\).
Giải bài tập 2.34 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Trong không gian Oxyz, cho hình lập phương (OABC.{O^prime }{A^prime }{B^prime }{C^prime }) có (A(a;0;0),C(0;a;0)), ({O^prime }(0;0;a)). (M) là trung điểm đoạn (A{C^prime }). Toạ độ của (M) là A. (left( { - frac{a}{2};frac{a}{2};frac{a}{2}} right)). B. (left( { - frac{a}{2}; - frac{a}{2}; - frac{a}{2}} right)). C. (left( {frac{a}{2};frac{a}{2};frac{a}{2}} right)). D. (left( {frac{a}{2};frac{a}{2}; - frac{a}{2}} right)).
Giải bài tập 2.35 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho ba điểm \(A(0;4;2),B(2;0;1),C(1; - 1;0)\). Trọng tâm của tam giác ABC là A. \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\). B. \(G(3;3;3)\). C. \(G( - 1; - 1; - 1)\). D. \(G(1;1;1)\).
Giải bài tập 2.36 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tam giác ABC có \(A(1;0;1),B(0;2;3),C(2;1;0)\). Độ dài đường trung tuyến AM là A. \(\frac{1}{2}\). B. \(\frac{{\sqrt {11} }}{2}\). C. \(\frac{{\sqrt {12} }}{2}\). D. \(\frac{{\sqrt {10} }}{2}\).
Giải bài tập 2.37 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho ba lực \({\vec F_1},{\vec F_2},{\vec F_3}\) lần lượt có cường độ \(2{\rm{N}},4{\rm{N}},5{\rm{N}}\) được đặt vào chất điểm \(M\). Biết rằng góc tạo bởi hai lực bất kỳ trong ba lực đều bằng \({60^\circ }\). Cường độ của hợp lực tác dụng lên \(M\) là: A. \(45{\rm{N}}\). B. \(\sqrt {45} {\rm{N}}\). C. \(\sqrt {83} {\rm{N}}\). D. \(83{\rm{N}}\).
Giải bài tập 2.38 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a = (1;1;1)\) và \(\vec b = ( - 1;2;1)\) bằng: A. \(\sqrt 3 \cdot \sqrt 6 \). B. \( - \sqrt 3 \cdot \sqrt 6 \). C. \(2\). D. \(\sqrt 2 \).
Giải bài tập 2.39 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Nếu \(\vec a = (1;1;0)\), \(\vec b = (1;1; - 3)\) thì \(\cos (\vec a,\vec b)\) bằng: A. \(\frac{{\sqrt {22} }}{{11}}\). B. \(\frac{{11}}{2}\). C. \(\frac{{11}}{{\sqrt {22} }}\). D. \(\frac{2}{{11}}\).
Giải bài tập 2.40 trang 84 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Hình bình hành ABCD có \(A(1;0;3)\), \(B(2;3; - 4)\), \(C( - 3;1;2)\). Tọa độ điểm \(D\) là: A. \(( - 4; - 2;9)\). B. \((2; - 4;5)\). C. \(( - 2;4; - 5)\). D. \((4;2; - 9)\).