Giải bài 9 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. a) Chứng minh rằng $A{B^2} = BH.BC$.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH.

a) Chứng minh rằng $A{B^2} = BH.BC$.

b) Chứng minh rằng $A{H^2} = BH.CH$.

c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm D $\left( {AD < AC} \right)$. Đường thẳng qua H và song song với AC cắt AB, BD lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng $\frac{{MN}}{{MH}} = \frac{{AD}}{{AC}}$.

d) Vẽ AE vuông góc với BD tại E. Chứng minh rằng $\widehat {BEH} = \widehat {BAH}$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác (g.g) để tính: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng thứ hai của hai tam giác (c.g.c) để tính chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Chứng minh được $\Delta ABC\backsim \Delta HBA\left( g.g \right)$ nên $\frac{{AB}}{{HB}} = \frac{{BC}}{{AB}}$, do đó, $A{B^2} = BH.BC$

b) Chứng minh được $\Delta HBA\backsim \Delta HAC\left( g.g \right)$ nên $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$, do đó $A{H^2} = BH.CH$.

c) Tam giác ABD có MN//AD nên $\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{BM}}{{BA}}\left( 1 \right)$

Tam giác ABC có MH//AC nên $\frac{{MH}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{BA}}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{MH}}{{AC}}$ hay $\frac{{MN}}{{MH}} = \frac{{AD}}{{AC}}$

d) Chứng minh được $\Delta ABD\backsim \Delta EBA\left( g.g \right)$, suy ra $\frac{{AB}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{AB}}$ hay $A{B^2} = BE.BD$

Mà $A{B^2} = BH.BC$ nên $BE.BD = BH.BC$, hay $\frac{{BH}}{{BD}} = \frac{{BE}}{{BC}}$

Xét tam giác BEH và tam giác BCD ta có: $\frac{{BH}}{{BD}} = \frac{{BE}}{{BC}}$ góc DBC chung. Do đó, $\Delta BEH\backsim \Delta BCD\left( c.g.c \right)$

Suy ra $\widehat {BEH} = \widehat {BCD}$. Mà $\widehat {BAH} = \widehat {BCD}$ (cùng phụ với góc HAC). Vậy $\widehat {BEH} = \widehat {BAH}$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 8 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Chứng minh rằng $\Delta ANQ\backsim \Delta ABC$.
Giải bài 7 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) $AD.BH = AC.BD$.
Giải bài 6 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A $\left( {AB < AC} \right)$, M là điểm bất kì trên cạnh AC. Kẻ $MD \bot BC\left( {D \in BC} \right)$.
Giải bài 5 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một người dùng thước êke để đo chiều cao từ chân đến mắt người đó là 1,6m và đứng cách trục chính tòa nhà 4,8m (Hình 5). Hỏi tòa nhà cao khoảng bao nhiêu?
Giải bài 4 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Tính khoảng cách AB của một khúc sông trong Hình 4.
Giải bài 3 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Tính chiều cao cột điện AB trong Hình 3.
Giải bài 2 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho Hình 2, biết AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, MD là tia phân giác của $\widehat {AMB}$, ME là tia phân giác của $\widehat {AMC}$. Chứng minh rằng $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$.
Giải bài 1 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho Hình 1. Tính x, y, z, w.
Giải bài 8 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình thang ABCD (AB//CD), có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết $AB = 9cm,$ $CD = 15cm$. Khi đó $\Delta AOB\backsim \Delta COD$ với tỉ số đồng dạng là:
Giải bài 7 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta XYZ$, biết $\widehat Y = {75^0},\widehat Z = {36^0}$. Khi đó số đo $\widehat A$ bằng:
Giải bài 6 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho $\Delta MNP\backsim \Delta EFG$, cho biết $MN = 8cm,NP = 15cm,FG = 12cm$. Khi đó EF bằng:
Giải bài 5 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu tam giác ABC và tam giác DEF có $\widehat A = \widehat D,\widehat C = \widehat F$ thì:
Giải bài 4 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu $\Delta ABD\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{3}{4}$, biết $DF = 12cm$. Khi đó, AD bằng:
Giải bài 3 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu tam giác ABC có EF//AC (với $E \in AB,F \in BC$) thì: A. $\Delta BEF\backsim \Delta ABC$.
Giải bài 2 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$ thì tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số nào?
Giải bài 1 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k thì tỉ số chu vi của hai tam giác đó bằng: