Giải bài 7 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) $AD.BH = AC.BD$.

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng:

a) $AD.BH = AC.BD$.

b) $HA.HD = HB.HE = HC.HF$.

c) $B{C^2} = BE.BH + CF.CH$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng thứ ba của hai tam giác (g.g) để tính: Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC và tam giác BDH có:

$\widehat {ADC} = \widehat {BDH} = {90^0},\widehat {DAC} = \widehat {HBD}$ (cùng phụ với góc ECB). Do đó, $\Delta ADC\backsim \Delta BDH\left( g.g \right)$, suy ra $\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BH}}$ nên $AD.BH = AC.BD$

b) Tam giác HEA và tam giác HDB có:

$\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = {90^0},\widehat {AHE} = \widehat {BHD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta HEA\backsim \Delta HDB\left( g.g \right)$, suy ra $\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}$, do đó $HA.HD = HB.HE$

Tam giác HFA và tam giác HDC có:

$\widehat {HFA} = \widehat {HDC} = {90^0},\widehat {FHA} = \widehat {DHC}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta HFA\backsim \Delta HDC\left( g.g \right)$, suy ra $\frac{{HF}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HC}}$, do đó, $HA.HD = HF.HC$

Vậy $HA.HD = HB.HE = HC.HF$

c) Tam giác BCE và tam giác BHD có:

$\widehat {BEC} = \widehat {BDH} = {90^0},\widehat {HBD}\;chung$

Do đó, $\Delta BCE\backsim \Delta BHD\left( g.g \right)$, suy ra $\frac{{BC}}{{BH}} = \frac{{BE}}{{BD}}$ hay $BC.BD = BE.BH$

Tam giác BCF và tam giác HCD có:

$\widehat {BFC} = \widehat {CDH} = {90^0},\widehat {HCD}\;chung$

Do đó, $\Delta BCF\backsim \Delta HCD\left( g.g \right)$, suy ra $\frac{{BC}}{{CH}} = \frac{{CF}}{{CD}}$ hay $BC.CD = CF.CH$.

Ta có: $BE.BH + CF.CH = BC.CD + BC.BD$

$ = BC\left( {BD + CD} \right) = B{C^2}$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 8 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AM, BN, CQ cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) Chứng minh rằng $\Delta ANQ\backsim \Delta ABC$.
Giải bài 9 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A và đường cao AH. a) Chứng minh rằng $A{B^2} = BH.BC$.
Giải bài 6 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho tam giác ABC vuông tại A $\left( {AB < AC} \right)$, M là điểm bất kì trên cạnh AC. Kẻ $MD \bot BC\left( {D \in BC} \right)$.
Giải bài 5 trang 75 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Một người dùng thước êke để đo chiều cao từ chân đến mắt người đó là 1,6m và đứng cách trục chính tòa nhà 4,8m (Hình 5). Hỏi tòa nhà cao khoảng bao nhiêu?
Giải bài 4 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Tính khoảng cách AB của một khúc sông trong Hình 4.
Giải bài 3 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Tính chiều cao cột điện AB trong Hình 3.
Giải bài 2 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho Hình 2, biết AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, MD là tia phân giác của $\widehat {AMB}$, ME là tia phân giác của $\widehat {AMC}$. Chứng minh rằng $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$.
Giải bài 1 trang 74 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho Hình 1. Tính x, y, z, w.
Giải bài 8 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho hình thang ABCD (AB//CD), có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết $AB = 9cm,$ $CD = 15cm$. Khi đó $\Delta AOB\backsim \Delta COD$ với tỉ số đồng dạng là:
Giải bài 7 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta XYZ$, biết $\widehat Y = {75^0},\widehat Z = {36^0}$. Khi đó số đo $\widehat A$ bằng:
Giải bài 6 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Cho $\Delta MNP\backsim \Delta EFG$, cho biết $MN = 8cm,NP = 15cm,FG = 12cm$. Khi đó EF bằng:
Giải bài 5 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu tam giác ABC và tam giác DEF có $\widehat A = \widehat D,\widehat C = \widehat F$ thì:
Giải bài 4 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu $\Delta ABD\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng $k = \frac{3}{4}$, biết $DF = 12cm$. Khi đó, AD bằng:
Giải bài 3 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu tam giác ABC có EF//AC (với $E \in AB,F \in BC$) thì: A. $\Delta BEF\backsim \Delta ABC$.
Giải bài 2 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$ theo tỉ số $k = \frac{2}{3}$ thì tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số nào?
Giải bài 1 trang 73 sách bài tập toán 8 - Chân trời sáng tạo tập 2
Nếu tam giác ABC đồng dạng với tam giác A’B’C’ theo tỉ số k thì tỉ số chu vi của hai tam giác đó bằng: