Bài 1. Đa giác đều. Hình đa giác đều trong thực tiễn - ..

Giải bài 9 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Người ta chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau như sau: – Trên đường tròn (O; R), lấy điểm A tuỳ ý; – Vẽ một phần đường tròn (A; R) cắt (O; R) tại B và C; – Vẽ một phần đường tròn (C; R) cắt (O; R) tại E (khác A); – Vẽ một phần đường tròn (E; R) cắt (O; R) tại F (khác C); – Vẽ một phần đường tròn (F; R) cắt (O; R) tại D (khác E). Nối A với B, B với D, D với F, F với E, E với C, C với A, ta được lục giác ABDFEC. Chứng minh: a) Lục giác ABDFEC là lục giác đều; b) AF, BE, CD l

Đề bài

Người ta chia đường tròn (O; R) thành 6 cung bằng nhau như sau:

– Trên đường tròn (O; R), lấy điểm A tuỳ ý;

– Vẽ một phần đường tròn (A; R) cắt (O; R) tại B và C;

– Vẽ một phần đường tròn (C; R) cắt (O; R) tại E (khác A);

– Vẽ một phần đường tròn (E; R) cắt (O; R) tại F (khác C);

– Vẽ một phần đường tròn (F; R) cắt (O; R) tại D (khác E).

Nối A với B, B với D, D với F, F với E, E với C, C với A, ta được lục giác ABDFEC.

Chứng minh:

a) Lục giác ABDFEC là lục giác đều;

b) AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R);

c) Các tứ giác ACEF, ABDC, BECA đều là hình thang cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Chứng minh ba đường chéo AF, BE, CD cắt nhau tại O suy ra AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R).

Chứng minh các tư giác là hình thang có hai góc kề một đáy là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) Nối OA, OB, OC, OD, OE, OF.

Từ giả thiết ta có sáu cung AB, AC, CE, EF, FD, DB bằng nhau nên

\(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \widehat {COE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOD} = \widehat {DOB}\).

Xét ∆AOB và ∆BOD có:

OA = OB; \(\widehat {AOB} = \widehat {BOD}\); OB = OD.

Do đó ∆AOB = ∆BOD (c.g.c), suy ra AB = BD (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, ta có AB = AC = CE = EF = FD = R.

Nên AB = AC = CE = EF = FD = DB. (1)

Ta có \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = \widehat {COE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOD} = \widehat {DOB} = {360^o}\)

Suy ra \(6\widehat {AOB} = {360^o}\), do đó \(\widehat {AOB} = {60^o}\).

Xét ∆AOB có OA = OB và \(\widehat {AOB} = {60^o}\) nên ∆AOB là tam giác đều.

Do đó \(\widehat {OAB} = {60^o}\).

Chứng minh tương tự, ta cũng có ∆OAC đều nên \(\widehat {OAC} = {60^o}\).

Khi đó, \(\widehat {BAC} = \widehat {OAB} + \widehat {OAC} = {60^o} + {60^o} = {120^o}\).

Tương tự, ta chứng minh được:

\(\widehat {BAC} = \widehat {ACE} = \widehat {CEF} = \widehat {EFD} = \widehat {FDB} = \widehat {DBA} = {120^o}\). (2)

Từ (1) và (2) ta có ABDFEC là lục giác đều.

b) Do ABDFEC là lục giác đều nên ba đường chéo AF, BE, CD cắt nhau tại O.

Do đó AF, BE, CD là các đường kính của đường tròn (O; R).

c) Chứng minh tương tự ở câu a, ta chứng minh được ∆AOC, ∆OCE là các tam giác đều. Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {OCE} = {60^o}\).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AO // CE hay AF // CE.

Tứ giác ACEF có AF // CE nên là hình thang.

Lại có \(\widehat {ACE} = \widehat {FEC} = {120^o}\) nên ACEF là hình thang cân.

Chứng minh tương tự, ta cũng có các tứ giác ABDC, BECA đều là hình thang cân.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 10 trang 108 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các hình chữ nhật ABEF, BCIJ và CAGH sao cho AF = BJ = CH = x. Tìm hệ thức liên hệ giữa a2 và x2 để hình lục giác EFGHIJ là lục giác đều.
Giải bài 11 trang 108 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Tính số đo mỗi góc của một đa giác đều có n cạnh trong mỗi trường hợp sau: a) n = 8; b) n = 9 c) n = 10.
Giải bài 12 trang 108 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho đa giác đều A1A2A3…An – 1 An (n > 3, n ∈ ℕ). Chứng minh các đường trung trực của các cạnh A1A2, A2A3, …, An – 1 An, AnA1 cùng đi qua một điểm.
Giải bài 8 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Ở Hình 9 biết ABCDEF là lục giác đều, chứng minh rằng lục giác MNPQRS cũng là lục giác đều.
Giải bài 7 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho ngũ giác đều ABCDE, đoạn BE cắt các đoạn AC và AD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng: a) Các tam giác AEN và CMB là các tam giác cân; b) AN là phân giác của góc EAM; c) AB.BC = BM.AC.
Giải bài 6 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác. Gọi A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD, ME sao cho (frac{{MA'}}{{MA}} = frac{{MB'}}{{MB}} = frac{1}{3},frac{{CC'}}{{MC}} = frac{{DD'}}{{MD}} = frac{2}{3},frac{{ME'}}{{E'E}} = frac{1}{2}). Chứng minh ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.
Giải bài 5 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho ngũ giác ABCDE. Chứng minh: AC + AD + BD + BE + EC > AB + BC + CD + DE + EA.
Giải bài 4 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho hình chữ nhật MNPQ và ngũ giác ABCDE trên lưới ô vuông như Hình 8, với cạnh của mỗi ô vuông nhỏ là 1 cm. Tính tỉ số diện tích ngũ giác ABCDE và diện tích hình chữ nhật MNPQ (làm tròn đến hàng phần mười).
Giải bài 3 trang 106 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Hãy vẽ một số đa giác (lồi) mà các đỉnh là một số điểm trong các điểm đã cho ở Hình 7.
Giải bài 2 trang 106 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho tam giác ABC và D là một điểm nằm trong tam giác. Kẻ DE song song với AB (E thuộc cạnh AC). Kẻ DF song song với BC (F thuộc cạnh AC). a) Trong nhóm các điểm B, D, F, C và nhóm các điểm A, B, C, D, nhóm các điểm nào là 4 đỉnh của một tứ giác lồi? Vì sao? b) Các điểm A, B, C, D, E có phải là các đỉnh của một ngũ giác lồi không? Vì sao?
Giải bài 1 trang 106 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Quan sát Hình 6 và kể tên các đa giác có trong hình đó.