Giải bài 5.9 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\)

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Kết nối tri thức (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\)

a) Tính \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) theo n.

b) Tính \({u_n}\) theo n.

c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử thức và mẫu thức cho số lớn nhất, rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn.

Lời giải chi tiết

Ta có: \({v_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Do đó, \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = 2\left( {\frac{{1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}}}} \right) = 3.\left( {1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)\)

Mặt khác:

\({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + ... + \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = {u_{n + 1}} - {u_1} = {u_{n + 1}} - 2\)

Vậy \({u_n} = 3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{5.3}^n} - 1}}{{{3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{5 - \frac{1}{{{3^n}}}}}{1} = 5\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.