Giải bài 5 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian \(Oxyz\) bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là \(\left( S \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 24} \right)^2} + {\left( {z - 24} \right)^2} = 100\) (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là \({\rm{d}}:\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\). a) Tìm toạ độ giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\). b) Tính số đo góc giữa \(d\) và trục \(Oz\). Làm tròn kết quả đến hàng

Đề bài

Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian \(Oxyz\) bằng phần mềm 3D.

Biết phương trình mặt cầu là

\(\left( S \right):{\left( {x - 24} \right)^2} + {\left( {y - 24} \right)^2} + {\left( {z - 24} \right)^2} = 100\) (đơn vị cm)

và phương trình đường thẳng trục xoay là

\({\rm{d}}:\frac{{x - 24}}{1} = \frac{{y - 24}}{1} = \frac{{z - 24}}{{3,25}}\).

a) Tìm toạ độ giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\).

b) Tính số đo góc giữa \(d\) và trục \(Oz\). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Viết phương trình đường thẳng \(d\) theo tham số \(t\) rồi thay vào phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) để tìm \(t\), sau đó tìm toạ độ giao điểm.

‒ Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2 + c_2^2} }}\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t\\y = 24 + t\\z = 24 + 3,25t\end{array} \right.\)

Điểm \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) nên điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(d\). Vậy điểm \(M\) có toạ độ là: \(M\left( {24 + t;24 + t;24 + 3,25t} \right)\)

Điểm \(M\) nằm trên mặt cầu nên ta có:

\({\left( {24 + t - 24} \right)^2} + {\left( {24 + t - 24} \right)^2} + {\left( {24 + 3,25t - 24} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow \frac{{201}}{{16}}{t^2} = 100 \Leftrightarrow {t^2} = \frac{{1600}}{{201}}\).

\( \Leftrightarrow t = \frac{{40}}{{\sqrt {201} }}\) hoặc \(t = - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }}\).

Vậy toạ độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) là:

\(M\left( {24 + \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 + \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 + \frac{{130}}{{\sqrt {201} }}} \right)\) và \(N\left( {24 - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 - \frac{{40}}{{\sqrt {201} }};24 - \frac{{130}}{{\sqrt {201} }}} \right)\).

b) Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;1;3,25} \right)\).

Trục \(Oz\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).

Ta có: \(\cos \left( {d,Oz} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 1.0 + 3,25.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{3,25}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} \approx 0,917\).

Vậy \(\alpha \approx {23,5^ \circ }\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 6 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục toạ độ là mét), một ngọn hải đăng có bóng đèn đặt tại điểm \(I\left( {20;40;60} \right)\). a) Cho biết bán kính phủ sáng của đèn trên hải đăng là 3 km, viết phương trình mặt cầu biểu diễn ranh giới của vùng phủ sáng của hải đăng trong không gian. b) Một người đi biển đang ở vị trí \(M\left( {420;340;0} \right)\). Người đó có thể nhìn thấy được ánh sáng của hải đăng hay không? Giải thích.
Giải bài 7 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một khu vực đã được thiết lập một hệ toạ độ \(Oxyz\) (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang phát sóng wifi bao phủ một vùng không gian bên trong mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 20} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 10} \right)^2} = 400\). Một người đang sử dụng máy tính tại điểm \(M\) nằm trên điểm giao của mặt cầu \(\left( S \right)\) và mặt đất \(\left( P \right):z = 0\). a) Xác định toạ độ tâm \(I\) và bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính kho
Giải bài 4 trang 60 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt của cầu đó. a) (4{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 14y - 7z + 4 = 0); b) ({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x - 4y - 4z - 19 = 0); c) ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 4y - 6z + 40 = 0).
Giải bài 3 trang 59 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình sau: a) (left( S right):{left( {x - 7} right)^2} + {left( {y - 3} right)^2} + {left( {z + 4} right)^2} = 49); b) (left( {S'} right):{x^2} + {left( {y + 1} right)^2} + {left( {z - 2} right)^2} = 11); c) (left( S'' right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25)
Giải bài 2 trang 59 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {--5;7;6} \right)\) và bán kính \(R = 9\). b) \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0; - 3;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4;0; - 2} \right)\). c) \(\left( S \right)\) có đường kính \(EF\) với \(E\left( {1;5;9} \right),F\left( {11;3;1} \right)\).
Giải bài 1 trang 59 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho mặt cầu (left( S right)) có tâm (Ileft( {2; - 1;4} right)) và bán kính (R = 5). Các điểm (Aleft( {3;1;5} right),Bleft( { - 1;11;14} right),)(Cleft( {6;2;4} right)) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu (left( S right))?