Giải bài 5 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$ .

Đề bài

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên $n \ge 2$ .

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} > \frac{{2n}}{{n + 1}}$

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp

Với $n = 2$ ta có $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > \frac{{2.2}}{{2 + 1}} = \frac{4}{3}$

Vậy bất đẳng thức đúng với $n = 2$

Giải sử bất đẳng thức đúng với $n = k$ nghĩa là có $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} > \frac{{2k}}{{k + 1}}$

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$ tức là chứng minh $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} > \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}}$

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} > \frac{{2k}}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 1}} = \frac{{2k + 1}}{{k + 1}}$

Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:

$\frac{{2k + 1}}{{k + 1}} > \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}}$ (*)

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}\frac{{2k + 1}}{{k + 1}} - \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}} = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) - 2{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{2{k^2} + 5k + 2 - \left( {2{k^2} + 4k + 2} \right)}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{k}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} > 0\end{array}$

Do đó (*) được chứng minh.

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 6 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Trong mặt phẳng, cho đa giác ${A_1}{A_2}{A_3}...{A_n}$ có n cạnh $(n \ge 3)$ . Gọi ${S_n}$ là tổng số đo các góc trong của đa giác.
Giải bài 7 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng
Giải bài 4 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Cho $a,b \ge 0$ . Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$
Giải bài 3 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng nếu $x > - 1$ thì ${(1 + x)^n} \ge 1 + nx$ với mọi $n \in \mathbb{N}*$
Giải bài 2 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng, với mọi $n \in \mathbb{N}*$ , ta có:
Giải bài 1 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$ :
Giải mục 2 trang 30, 31 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng ({n^3} + 2n) chia hết cho 3 với mọi (n in mathbb{N}*)
Giải mục 1 trang 26, 27, 28, 29 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo
Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.