Giải bài 5 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).

Đề bài

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\).

\(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} > \frac{{2n}}{{n + 1}}\)

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 2\) ta có \(1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} > \frac{{2.2}}{{2 + 1}} = \frac{4}{3}\)

Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)

Giải sử bất đẳng thức đúng với \(n = k\) nghĩa là có \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} > \frac{{2k}}{{k + 1}}\)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} > \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}}\)

Sử dụng giả thiết quy nạp ta có: \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} > \frac{{2k}}{{k + 1}} + \frac{1}{{k + 1}} = \frac{{2k + 1}}{{k + 1}}\)

Ta sẽ nhận được điều phải chứng minh nếu chứng minh được:

\(\frac{{2k + 1}}{{k + 1}} > \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}}\) (*)

Xét hiệu:

\(\begin{array}{l}\frac{{2k + 1}}{{k + 1}} - \frac{{2(k + 1)}}{{k + 2}} = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) - 2{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}\\ = \frac{{2{k^2} + 5k + 2 - \left( {2{k^2} + 4k + 2} \right)}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{k}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} > 0\end{array}\)

Do đó (*) được chứng minh.

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n.