Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học Chuyên đề học tập T..

Giải bài 2 trang 32 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo


Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:

Đề bài

Chứng minh rằng, với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:

a) \({5^{2n}} - 1\) chia hết cho 24.

b) \({n^3} + 5n\) chia hết cho 6.

Lời giải chi tiết

a) Ta chứng minh a) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({5^2} - 1 = 24\) chia hết cho 24.

Vậy a) đúng với \(n = 1\)

Giải sử a) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({5^{2k}} - 1\) chia hết cho 24.

Ta chứng minh a) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({5^{2(k + 1)}} - 1\) chia hết cho 24.

Thật vậy, ta có

\({5^{2(k + 1)}} - 1 = {5^{2k + 2}} - 1 = {25.5^{2k}} - 25 + 24 = 25.\left( {{5^{2k}} - 1} \right) + 24\)

Chia hết cho 24 do \({5^{2k}} - 1\) chia hết cho 24.

Vậy a) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

b) Ta chứng minh b) bằng phương pháp quy nạp

Với \(n = 1\) ta có \({1^3} + 5.1 = 6\) chia hết cho 6.

Vậy b) đúng với \(n = 1\)

Giải sử b) đúng với \(n = k\) nghĩa là có \({k^3} + 5k\) chia hết cho 6.

Ta chứng minh b) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh  \({(k + 1)^3} + 5(k + 1)\) chia hết cho 6.

Thật vậy, ta có

\(\begin{array}{l}{(k + 1)^3} + 5(k + 1) = {k^3} + 3{k^2} + 3k + 1 + 5k + 5\\ = \left( {{k^3} + 5k} \right) + 3({k^2} + k) + 6 = \left( {{k^3} + 5k} \right) + 3k(k + 1) + 6\end{array}\)

Mà \(k \ge 1\) nên \(k(k + 1) \vdots 2 \Rightarrow 3k(k + 1) \vdots 6\)

Do đó \({(k + 1)^3} + 5(k + 1)\) chia hết cho 6.

Vậy b) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store