Giải bài 4.41 trang 71 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho \(MB = 2MC.\)

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho \(MB = 2MC.\)

a) Xác định hình chiếu M’ của M qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (A’B’C’) theo phương AA’.

b) Chứng minh rằng \(M'B' = 2M'C'\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng \(\Delta \) cắt \(\left( \alpha \right)\). Với mỗi điểm M trong không gian ta xác định điểm M’ như sau:

+ Nếu M thuộc \(\Delta \) thì M’ là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) và \(\Delta \).

+ Nếu M không thuộc \(\Delta \) thì M’ là giao điểm của \(\left( \alpha \right)\) và đường thẳng qua M song song với \(\Delta \).

Điểm M’ được gọi là hình chiếu của M trên mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) theo phương chiếu \(\Delta \).

- Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó; phép chiếu song song giữa nguyên tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.

Lời giải chi tiết

a) Trong mặt phẳng (BCC’B’) vẽ MM’//BB’ (M’ thuộc B’C’) thì M’ là hình chiếu của M qua phép chiếu đã cho.

b) Vì AA’//BB’//CC’ nên B’, C’ lần lượt là hình chiếu của B, C lên mặt phẳng (A’B’C’) theo phương chiếu AA’. Theo tính chất của phép chiếu song song suy ra \(\frac{{M'B'}}{{M'C'}} = \frac{{MB}}{{MC}} = 2\), suy ra \(M'B' = 2M'C'\)