-
SBT TOÁN TẬP 1 - CÁNH DIỀU
-
SBT TOÁN TẬP 2 - CÁNH DIỀU
Giải bài 44 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Đề bài
Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Trước hết, cần chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Áp dụng kết quả này vào hình hộp.
Lời giải chi tiết
Trước hết, ta sẽ chứng minh kết quả phụ: Trong một hình bình hành, tổng bình phương của hai đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình bình hành. Xét hình bình hành \(MNPQ\) như hình dưới đây. Ta cần chứng minh rằng \(M{P^2} + N{Q^2} = M{N^2} + N{P^2} + P{Q^2} + Q{M^2}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \(MPQ\) và \(NPQ\), ta có:
\(M{P^2} = Q{M^2} + Q{P^2} - 2QM.QP.\cos MQP\)
\(Q{N^2} = P{Q^2} + P{N^2} - 2PN.PQ.\cos QPN\).
Do \(QM = PN\) và \(\cos MQP = - \cos QPN\) (do \(\widehat {MQP}\) và \(\widehat {QPN}\) bù nhau), nên ta có
\(M{P^2} + N{Q^2} = M{Q^2} + 2P{Q^2} + P{N^2} - 2QM.QP\cos MQP + 2QM.QP\cos MQP\)
\( \Rightarrow M{P^2} + N{Q^2} = 2\left( {M{N^2} + N{P^2}} \right)\).
Ta có điều phải chứng minh.
Quay trở lại bài toán, ta xét hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Áp dụng kết quả vừa chứng minh được ở trên với hai hình bình hành \(ACC'A'\), \(DBB'D'\) và \(A'B'C'D'\) ta có:
\(AC{'^2} + A'{C^2} = 2\left( {AA{'^2} + A'C{'^2}} \right)\) ; \(B'{D^2} + BD{'^2} = 2\left( {BB{'^2} + B'D{'^2}} \right)\);
\(A'C{'^2} + B'D{'^2} = 2\left( {A'B{'^2} + A'D{'^2}} \right)\).
Như vậy
\(AC{'^2} + A'{C^2} + BD{'^2} + B'{D^2} = 2\left( {AA{'^2} + A'C{'^2} + BB{'^2} + B'D{'^2}} \right)\)
\( = 4AA{'^2} + 2\left( {A'C{'^2} + B'D{'^2}} \right) = 4AA{'^2} + 4A'B{'^2} + 4A'D{'^2}\).
Do \(4AA{'^2} = AA{'^2} + BB{'^2} + CC{'^2} + DD{'^2}\), \(4A'B{'^2} = A'B{'^2} + A{B^2} + C'D{'^2} + C{D^2}\), \(4A'D{'^2} = A'D{'^2} + A{D^2} + B'C{'^2} + B{C^2}\), ta kết luận rằng trong một hình hộp, tổng bình phương tất cả các đường chéo bằng tổng tất cả các cạnh của hình hộp đó.
Bài toán được chứng minh.
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 45 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 43 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 42 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 41 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
- Giải bài 40 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
