Giải bài 42 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\)

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(BC\), \(CC'\), \(C'D'\), \(D'A'\), \(AA'\). Chứng minh rằng:

a) Sáu điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Các đoạn thẳng \(MQ\), \(NR\), \(PS\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chỉ ra rằng \(RS\parallel NP\), \(PQ\parallel MS\) và \(QR\parallel MN\) để chỉ ra 6 điểm đồng phẳng.

b) Chứng minh rằng \(MNQR\), \(RSNP\) là các hình bình hành để suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Do \(R\) là trung điểm \(A'D'\), \(S\) là trung điểm \(AA'\) nên \(RS\) là đường trung bình của tam giác \(A'AD'\). Suy ra \(RS\parallel AD'\). Tương tự ta cũng có \(NP\parallel BC'\).

Tứ giác \(ABC'D'\) có \(AB = C'D'\) và \(AB\parallel C'D'\) nên là hình bình hành. Suy ra \(AD'\parallel BC'\) và \(AD' = BC'\). Từ đó suy ra \(RS\parallel NP\), và 4 điểm \(R\), \(S\), \(N\), \(P\) đồng phẳng.

Chứng minh tương tự ta có \(PQ\parallel MS\) và \(QR\parallel MN\).

Như vậy, 6 điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) đồng phẳng. Bài toán được chứng minh.

b) Ta có \(RS\parallel NP\).

Vì \(RS\) là đường trung bình của tam giác \(A'AD'\) nên \(RS = \frac{1}{2}AD'\). Tương tự ta cũng có \(NP = \frac{1}{2}BC'\). Do \(AD' = BC'\) nên \(RS = NP\). Vậy tứ giác \(RSNP\) là hình bình hành. Suy ra \(NR\) và \(PS\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta cũng có \(MNQR\) là hình bình hành, từ đó ta có \(NR\) và \(MQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do \(O\) là trung điểm của \(NR\), nên \(O\) cũng là trung điểm của \(MQ\).

Vậy ba đoạn thẳng \(MQ\), \(NR\) và \(PS\) cắt nhau trung điểm \(O\) của mỗi đường.

Bài toán được chứng minh.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 43 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G\), \(I\), \(K\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\), \(A'B'C'\), \(A'B'B\).
Giải bài 44 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Chứng minh rằng trong một hình hộp, tổng bình phương của bốn đường chéo bằng tổng bình phương của tất cả các cạnh.
Giải bài 45 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Phần trong của một bể đựng nước được xây có dạng hình hộp như hình dưới đây. Để xác định tỉ số của độ cao mực nước trong bể với chiều cao của lòng bể
Giải bài 41 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình lăng trụ tam giác (ABC.A'B'C'). Gọi (M) là trung điểm của (A'C').
Giải bài 40 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Giải bài 39 trang 113 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(A'B'\), \(B'C'\).
Giải bài 38 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Khẳng định nào sau đây là SAI?
Giải bài 37 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(B'C'\).
Giải bài 36 trang 112 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Số đường chéo trong một hình hộp là: