Giải bài 34 trang 109 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy(ABCD) là hình thang với đáy lớn (AD)

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AD\). Gọi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\), \(N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AN = \frac{1}{3}AC\), \(P\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(CD\) sao cho \(DP = \frac{1}{3}DC\). Chứng mình rằng \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí Thales, do \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{DP}}{{DC}}\) nên \(NP\parallel AD\), suy ra \(NP\parallel BC\) và \(NP\parallel \left( {SBC} \right)\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(EC\). Áp dụng định lí Thales ta suy ra \(\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{1}{3}\), từ đó chứng minh được \(IM\parallel SC\) và \(IM\parallel \left( {SBC} \right)\), rồi suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Ta có \(\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{DP}}{{DC}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\) nên theo định lí Thales, ta có \(NP\parallel AD\).

Do \(ABCD\) là hình thang với đáy lớn \(AD\), ta có \(AD\parallel BC\). Như vậy \(NP\parallel BC\).

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\), ta kết luận rằng \(NP\parallel \left( {SBC} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\).

Do \(M\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\) nên \(M \in SE\) và \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{2}{3}\). Từ đó\(\frac{{EM}}{{ES}} = \frac{1}{3}\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(EC\).

Xét tam giác \(CDE\), ta có \(IP\parallel DE \Rightarrow \frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{DP}}{{DC}} = \frac{1}{3}\).

Vậy \(\frac{{EI}}{{EC}} = \frac{{EM}}{{ES}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\), từ đó ta có \(MI\parallel SC\). Do \(SC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MI\parallel \left( {SBC} \right)\).

Như vậy ta có \(NP\parallel \left( {SBC} \right)\), \(MI\parallel \left( {SBC} \right)\). Mà \(NP \cap MI = \left\{ I \right\}\), nên ta suy ra \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\).

Bài toán được chứng minh.