Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức Bài 6. Hypebol Chuyên đề học tập Toán 10 kết nối tri thức

Giải bài 3.11 trang 52 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi

Đề bài

Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc hypebol đến hai đường tiệm cận của nó là một số không đổi

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho hypebol  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Hai đường tiệm cận \(y =  - \frac{b}{a}x\) và \(y = \frac{b}{a}x\)

Lời giải chi tiết

Gọi PTCT của hypebol là:  \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Hai đường tiệm cận \({d_1}:y =  - \frac{b}{a}x\) và \({d_2}:y = \frac{b}{a}x\)

Lấy \(M({x_0};{y_0})\) bất kì thuộc hypebol.

\(d(M,{d_1}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }};d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1} }}.\)

\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{\left| {\left( {\frac{b}{a}{x_0} + {y_0}} \right)\left( {\frac{b}{a}{x_0} - {y_0}} \right)} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{\left| {{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2}{x_0}^2 - {y_0}^2} \right|}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}}\)

Mà \(M({x_0};{y_0})\)thuộc hypebol nên \(\frac{{{x_0}^2}}{{{a^2}}} - \frac{{{y_0}^2}}{{{b^2}}} = 1\) hay \({\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}{x_0}^2 - {y_0}^2 = {b^2}\)

\( \Rightarrow d(M,{d_1}).d(M,{d_2}) = \frac{{{b^2}}}{{{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^2} + 1}} = \frac{{{a^2}.{b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}\) là hằng số (đpcm)

 


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store