Giải bài 30 trang 81 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + a{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\)

Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + a{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\)

a) Với \(a = 2\), xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 1\).

b) Tìm \(a\) để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) trong trường hợp \(a = 2\).

b) Để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số phải liên tục tại \(x = 1\). Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\). Từ đó tìm được \(a\).

Lời giải chi tiết

a) Với \(a = 2\) ta có \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x{\rm{ }}\left( {x \ge 1} \right)\\x + 2{\rm{ }}\left( {x < 1} \right)\end{array} \right.\).

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} - x} \right) = {1^2} - 1 = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)\), nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\). Do đó, hàm số không liên tục tại \(x = 1\).

b) Với \(x < 1\) thì \(f\left( x \right) = x + a\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( { - \infty ,1} \right)\).

Với \(x > 1\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - x\) là hàm đa thức nên \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {1, + \infty } \right)\).

Do đó, để \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì \(f\left( x \right)\) phải liên tục tại \(x = 1\).

Tức là \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + a} \right) = 0 \Rightarrow 1 + a = 0 \Rightarrow a = - 1\).