Giải bài 27 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Cho phương trình ({x^2} + 2left( {2m - 1} right)x - 4{m^2} - 1 = 0.) a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm ({x_1};{x_2})với mọi giá trị của m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm ({x_1};{x_2}) không phụ thuộc vào giá trị của m.

Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {2m - 1} \right)x - 4{m^2} - 1 = 0.\)

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)với mọi giá trị của m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) không phụ thuộc vào giá trị của m.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta \ge 0\forall m \in \mathbb{R}\) hoặc \(\Delta ' \ge 0\forall m \in \mathbb{R}\).

b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\).

Bước 2: Biến đổi biểu thức để không chứa m nữa (có thể bình phương, nhân với một số,…).

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số \(a = 1;b = 2\left( {2m - 1} \right);c = - 4{m^2} - 1\), do đó \(b' = \frac{b}{2} = 2m - 1\).

Ta có:

\(\Delta ' = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 4{m^2} - 1} \right) \\= {\left( {2m - 1} \right)^2} + 4{m^2} + 1.\)

Do \({\left( {2m - 1} \right)^2} \ge 0;4{m^2} \ge 0;1 > 0\) nên \({\left( {2m - 1} \right)^2} + 4{m^2} + 1 > 0\) với mọi \( m \in \mathbb{R}\) hay \(\Delta ' \ge 0\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Vì \(\Delta ' \ge 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có:

\({x_1} + {x_2} = - 2\left( {2m - 1} \right);{x_1}.{x_2} = - 4{m^2} - 1.\)

Ta có:

\({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} \\= {\left( { - 2\left( {2m - 1} \right) + 2} \right)^2} \\= 16{m^2} + 16\)

và \(4.{x_1}.{x_2} = 4\left( { - 4{m^2} - 1} \right) = - 16{m^2} - 4\)

Suy ra

\({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} + 4.{x_1}.{x_2} \\= 16{m^2} + 16 - 16{m^2} - 4 = 12.\)

Vậy hệ thức cần tìm là \({\left( {{x_1} + {x_2} + 2} \right)^2} + 4.{x_1}.{x_2}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 28 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho phương trình ({x^2} + 2left( {k + 1} right)x + {k^2} + 2k = 0). a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm ({x_1};{x_2})và (left| {{x_1}} right|.left| {{x_2}} right| = 1). b*) Tìm các giá trị k ((k < 0)) để phương trình luôn có hai nghiệm ({x_1};{x_2})trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.
Giải bài 29 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Tìm các số x, y với (x < y)thoả mãn: a) (x + y = 16)và (xy = 15); b) (x + y = 2) và (xy = - 2).
Giải bài 30 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho phương trình ({x^2} + left( {2m - 1} right)x - m = 0). a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi ({x_1};{x_2})là hai nghiệm của phương trình. Tìm các giá trị m để biểu thức (A = {x_1}^2 + {x_2}^2 - {x_1}{x_2}) đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải bài 31 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho các số x, y, z khác 0 thoả mãn (x + y + z = 5) và (xy + yz + xz = 8). Chứng tỏ rằng: (1 le x le frac{7}{3};1 le y le frac{7}{3};1 le z le frac{7}{3})
Giải bài 32 trang 72 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Một bác thợ cắt vừa đủ một cây sắt thành các đoạn để hàn lại thành khung của một hình lập phương có cạnh là x (m) và một hình hộp chữ nhật có chiều rộng bằng chiều cao là y (m), chiều dài gấp 5 lần chiều rộng. Tìm độ dài cây sắt, biết (x < y;x + y = 0,5) và (xy = 0,06).
Giải bài 33 trang 72 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng x (m), chiều dài gấp rưỡi chiều rộng. Người ta đã làm một vườn hoa ở trung tâm mảnh đất với diện tích bằng 640 m và làm một con đường rộng 2 m xung quanh vườn hoa đó (Hình 10). Hỏi chu vi của mảnh đất đó bằng bao nhiêu mét?
Giải bài 26 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
a) Cho phương trình ( - {x^2} + 5kx + 4 = 0.) Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm ({x_1};{x_2}) thoả mãn điều kiện (x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9.) b) Cho phương trình (k{x^2} - 6left( {k - 1} right)x + 9left( {k - 3} right) = 0left( {k ne 0} right).)Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm ({x_1};{x_2}) thoả mãn điều kiện ({x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2} = 0.)
Giải bài 25 trang 71 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Cho phương trình ({x^2} + x - 2 + sqrt 2 = 0.) a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm ({x_1};{x_2}) trái dấu. b) Không giải phương trình, tính: (A = x_1^2 + x_2^2;B = x_1^3 + x_2^3;C = frac{1}{{{x_1}}} + frac{1}{{{x_2}}};D = left| {{x_1} - {x_2}} right|.)
Giải bài 24 trang 70 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2
Không tính (Delta ), giải các phương trình: (begin{array}{l}a)7{x^2} + 3sqrt 3 x - 7 + 3sqrt 3 = 0;\b) - 2{x^2} + left( {5m + 1} right)x - 5m + 1 = 0.end{array})