Giải bài 1.25 trang 24 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Giải các phương trình sau:

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(2\sin \left( {\frac{x}{3} + {{15}^0}} \right) + \sqrt 2 = 0\)

b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = - 1\)

c) \(3\tan 2x + \sqrt 3 = 0\)

d) \(\cot \left( {2x - 3} \right) = \cot {15^0}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng cách giải phương tình \(\sin x = m\) (1)

+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì tồn tại duy nhất số \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\sin \alpha = m\).

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

\(\sin x = m \Leftrightarrow \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

\(\sin x = \sin {\alpha ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^0} + k{360^0}\\x = {180^0} - \alpha + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: \(\sin u = \sin v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\x = \pi - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) Sử dụng cách giải phương tình \(\cos \,x = m\) (2)

+ Nếu \(\left| m \right| > 1\) thì phương trình (1) vô nghiệm.

+ Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì tồn tại duy nhất số \(\alpha \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn \(\cos \,\alpha = m\).

Khi đó, phương trình (1) tương đương với:

\(\cos x = m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

\(\cos x = \cos {\alpha ^0} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos = {\alpha ^0} + k{360^0}\\\cos = - \alpha + k{360^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: \(\cos u = \cos v \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = v + k2\pi \\x = - v + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

c) Sử dụng cách giải phương trình \(\tan \,x = m\left( 3 \right)\)

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số \(\alpha \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\)

Khi đó, phương trình (3) tương đương với:

\(\tan x = m \Leftrightarrow \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

\(\tan x = \tan {\alpha ^0} \Leftrightarrow x = {\alpha ^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: \(\tan u = \tan v \Leftrightarrow u = v + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

d) Sử dụng cách giải phương trình \(\cot \,x = m\left( 4 \right)\)

Phương trình (3) luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

Luôn tồn tại duy nhất số \(\alpha \in \left( {0;\pi } \right)\) thoả mãn \(\tan \alpha = m\)

Khi đó, phương trình (4) tương đương với:

\(\cot x = m \Leftrightarrow \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu góc \(\alpha \) được cho bằng đơn vị độ thì công thức nghiệm trở thành:

\(\cot x = \cot {\alpha ^0} \Leftrightarrow x = {\alpha ^0} + k{180^0}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

- Nếu u, v là các biểu thức của x thì: \(\cot u = \cot v \Leftrightarrow u = v + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) \(2\sin \left( {\frac{x}{3} + {{15}^0}} \right) + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{3} + {{15}^0}} \right) = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{3} + {{15}^0}} \right) = \sin \left( { - {{45}^0}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{3} + {15^0} = - {45^0} + k{360^0}\\\frac{x}{3} + {15^0} = {180^0} + {45^0} + k{360^0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - {180^0} + k{1080^0}\\x = {630^0} + k{1080^0}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

b) \(\cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{5}} \right) = \cos \pi \Leftrightarrow 2x + \frac{\pi }{5} = \pi + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{5} + k\pi \)

c) \(3\tan 2x + \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \tan 2x = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3} \Leftrightarrow \tan 2x = \tan \left( {\frac{{ - \pi }}{6}} \right) \Leftrightarrow 2x = \frac{{ - \pi }}{6} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{ - \pi }}{{12}} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

d) \(\cot \left( {2x - 3} \right) = \cot {15^0} \Leftrightarrow 2x - 3 = {15^0} + k{180^0} \Leftrightarrow x = \frac{{{{15}^0} + 3}}{2} + k{90^0}\)\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)