Giải bài 1.10 trang 10 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc \({105^0}\).

Đề bài

Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc \({105^0}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng công thức cộng, tách góc 105\(^0\) ra thành 2 góc có giá trị lượng giác đặc biệt là 60\(^0\) và 45\(^0\)

\(\cos (a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\)

\(\sin (a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b\)

Áp dụng công thức \({\mathop{\rm tanx}\nolimits} = \frac{{sinx}}{{\cos x}}\) để tính \(\tan x\).

Áp dụng công thức \({\mathop{\rm cotx}\nolimits} = \frac{1}{{\tan x}}\) để tính \(\cot \,x\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\cos {105^0} = \cos ({60^0} + {45^0}) = \cos 60{\,^0}\cos {45^0} - \sin {60^0}\sin {45^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}.\\\sin {105^0} = \sin ({60^0} + {45^0}) = \sin 60{\,^0}\cos {45^0} - \cos {60^0}\sin {45^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}.\end{array}\)

\(\tan {105^0} = \frac{{\sin {{105}^0}}}{{\cos {{105}^0}}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}}}{{\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}}} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}\).

\(\cot {105^0} = \frac{1}{{\tan {{105}^0}}} = 1:\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}\).