-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi giữa kì 2 Toán 12 - Đề số 3
Đề bài
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là:
-
A.
\(N\left( {0;2; - 1} \right)\)
-
B.
\(N\left( {2;0;0} \right)\)
-
C.
\(N\left( {0;2;0} \right)\)
-
D.
\(N\left( {0;2;1} \right)\)
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm
-
A.
\(N(1;2;0)\).
-
B.
\(M(0;0;3)\).
-
C.
\(P(1;0;0)\).
-
D.
\(Q(0;2;0)\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 1;0;2} \right),D\left( { - 2;1;1} \right),A'\left( {0;0;0} \right)\). Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(\dfrac{1}{6}\)
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
B.
$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
-
C.
$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
D.
$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
Điều kiện để hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương là:
-
A.
\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\)
-
B.
\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow 0 \)
-
C.
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \)
-
D.
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\)
Diện tích tam giác \(ABC\) không được tính theo công thức nào sau đây:
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right]} \right|\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right]} \right|\)
-
D.
\(\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|\)
Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?
-
A.
\(y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}\)
-
B.
\(y = {2^x}\)
-
C.
\(y = 3{x^3}\)
-
D.
\(y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - x}}\)
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
-
A.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
B.
$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
C.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
D.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Cho véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)\) và một số thực \(k \ne 0\). Tọa độ véc tơ \(\dfrac{1}{k}.\overrightarrow u \) là:
-
A.
\(\left( {kx;ky;kz} \right)\)
-
B.
\(\left( {\dfrac{x}{k};\dfrac{y}{k};\dfrac{z}{k}} \right)\)
-
C.
\(\left( {\dfrac{k}{x};\dfrac{k}{y};\dfrac{k}{z}} \right)\)
-
D.
\(\left( {k - x;k - y;k - z} \right)\)
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
B.
$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
C.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
-
D.
$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
Hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định
-
B.
Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục $Oy$
-
C.
Hàm số đã cho có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
-
D.
Đồ thị hàm số đã cho luôn nằm phía trên trục hoành.
Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), khi đó độ dài đoạn thẳng \(AB\) được tính theo công thức:
-
A.
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
-
B.
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} + {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} + {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} + {z_A}} \right)}^2}} \)
-
C.
\(AB = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2} + {\left( {{z_B} - {z_A}} \right)^2}\)
-
D.
$AB = {\sqrt {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)} ^2} + {\sqrt {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)} ^2} + {\sqrt {\left( {{z_B} - {z_A}} \right)} ^2}$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)\); \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai
-
A.
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3; - 3; - 3} \right)\)
-
B.
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \)
-
C.
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với điểm $A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right)$ và $C\left( {4;2;2} \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$. Độ dài đường trung bình $MN$ bằng:
-
A.
\(\dfrac{{21}}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{9}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x.\)
-
A.
\(\int{\sin 2x\,\text{d}x}=-\dfrac{\cos 2x}{2}+C.\)
-
B.
\(\int{\sin 2x\,\text{d}x}=-\,\cos 2x+C.\)
-
C.
\(\int{\sin 2x\,\text{d}x}=\dfrac{\cos 2x}{2}+C.\)
-
D.
\(\int{\sin 2x\,\text{d}x}=2\cos 2x+C.\)
Cho ba điểm\(M\left( 0;2;0 \right);N\left( 0;0;1 \right);A\left( 3;2;1 \right)\) . Lập phương trình mặt phẳng \(\left( MNP \right)\), biết điểm \(P\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên trục Ox.
-
A.
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1\) .
-
B.
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=0\) .
-
C.
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1\) .
-
D.
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\) .
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\). Mặt cầu có tâm I và bán kính R là:
-
A.
\(I (-1; 2; -3)\) và \(R = \sqrt 5 \)
-
B.
\(I (1; -2; 3)\) và \(R = \sqrt 5 \)
-
C.
\(I (1; -2; 3)\) và \(R = 5\)
-
D.
\(I (-1; 2; -3)\) và \(R = 5\)
Cho mặt cầu ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 16$ và điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt cầu sao cho độ dài đoạn $AM$ là lớn nhất.
-
A.
\(M(3;6;9)\)
-
B.
\(M(1;2; - 9)\)
-
C.
\(M(1;2;9)\)
-
D.
\(M( - 1; - 2;1)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) và vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;3;4} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \)
-
A.
\(2{\rm{x}} - y + z + 3 = 0\)
-
B.
\(2{\rm{x}} - y + z - 3 = 0\)
-
C.
\(x + 3y + 4{\rm{z}} + 3 = 0\)
-
D.
\(x + 3y + 4{\rm{z}} - 3 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0\) là phương trình mặt cầu.
-
A.
\(m\le 6\).
-
B.
\(m<6\).
-
C.
\(m>6\).
-
D.
\(m\ge 6\).
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) quay quanh \(Oy\,\,?\)
-
A.
$V = 36\pi .$
-
B.
$V = 24\pi .$
-
C.
$V = 16\pi .$
-
D.
$V = 64\pi .$
Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hành \(ABCD\)?
-
A.
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\)
-
B.
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)
-
C.
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|\)
-
D.
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ
$\overrightarrow u = \left( {m; - 2;m + 1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {0;m - 2;1} \right)$.
Tất cả giá trị của \(m\) có thể có để hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương là:
-
A.
\(m = - 1.\)
-
B.
\(m = 0.\)
-
C.
\(m = 1.\)
-
D.
\(m = 2.\)
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\) là:
-
A.
\(\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+C\)
-
B.
\(\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{2}}+C\)
-
C.
\(\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+C\)
-
D.
\({{x}^{2}}+C\)
Diện tích tam giác \(OBC\) biết \(B\left( {1;0;2} \right),C\left( { - 2;0;0} \right)\) là:
-
A.
\(\sqrt 5 \)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(2\sqrt 5 \)
-
D.
\(2\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right)$
-
B.
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = - 7$
-
C.
$\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right) = - 7$
-
D.
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) < - 3$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz - 27 = 0$ qua hai điểm $A\left( {3,2,1} \right),B\left( { - 3,5,2} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$.
-
A.
$S = - 2$
-
B.
$S = 2$
-
C.
$S = - 4$
-
D.
$S = - 12$
Cho \(f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \). Nếu đặt \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\) thì:
-
A.
\(f\left( x \right)dx = - tdt\)
-
B.
\(f\left( x \right)dx = 2tdt\)
-
C.
\(f\left( x \right)dx = - 2{t^2}dt\)
-
D.
\(f\left( x \right)dx = 2{t^2}dt\)
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) là đường thẳng:
-
A.
\(x = 1\)
-
B.
\(y = 0\)
-
C.
\(y = 1\)
-
D.
\(x = 0\)
Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.
-
A.
$m < - \dfrac{1}{3}$
-
B.
$m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
-
C.
$m \leqslant - \dfrac{4}{3}$
-
D.
$m \leqslant 0$
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = \dfrac{1}{2}$
-
C.
$m = 1;m = \dfrac{1}{2}$
-
D.
$m = 3$
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
-
A.
$M = - 10$
-
B.
$M = - 7$
-
C.
$M = - 5$
-
D.
$M = 1$
Hàm số \(y = {2^{\ln x + {x^2}}}\) có đạo hàm là
-
A.
\(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}\)
-
B.
\(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2\)
-
C.
\(\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)
-
D.
\(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right)\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\).
-
A.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C\).
-
B.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C\).
-
C.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\sqrt {4 - {x^2}} + C\).
-
D.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{2}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C\).
Nếu \(\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{ -{\frac{x}{2}}}}} \right)dx} = K - 2e\) thì giá trị của \(K\) là
-
A.
\(12,5\).
-
B.
\(9\).
-
C.
\(11\).
-
D.
\(10\).
Biết rằng \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a} \) với \(a \in R\). Khi đó giá trị của $a$ bằng:
-
A.
$a = 2$
-
B.
\(a = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(a = \sqrt 2 \)
-
D.
$a = 4$
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
-
A.
\(T=10\).
-
B.
\(T=9\).
-
C.
\(T=8\).
-
D.
\(T=11\).
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2\) (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(S = b - a.\)
-
B.
\(S = b + a.\)
-
C.
\(S = - b + a.\)
-
D.
\(S = - b - a.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
-
A.
\(M(0;1;0)\)
-
B.
\(M(0;2;1)\)
-
C.
\(M(0;1;2)\)
-
D.
\(M(0; - 1;1)\)
Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:
-
A.
$ - 10$
-
B.
$0$
-
C.
$7$
-
D.
$ - 7$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;3; - 3} \right)\), \(A',\,\,B',\,\,C'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \). Nếu \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) thì \(G'\) có tọa độ là:
-
A.
\(\left( {2;\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)
-
B.
\(\left( {2; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
-
C.
\(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
-
D.
$\left( { - 2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {4;0;1} \right)\), \(C\left( { - 10;5;3} \right)\). Độ dài đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác \(ABC\) bằng:
-
A.
\(2\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 5 \)
-
C.
\(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)
-
D.
\(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 5$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến với đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song?
-
A.
Không tồn tại cặp điểm nào
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số cặp điểm
Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x+y-3z+1=0;\,\,\left( Q \right):\,\,2x+3y+z-1=0\); \(\left( R \right):\,\,x+2y+4z-2=0\). Xét mặt phẳng (T) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), có $\overrightarrow {{n_{\left( T \right)}}} = \left( {1;a;b} \right)$ và tạo với mặt phẳng (R) một góc \(\alpha \). Biết \(\cos \alpha =\dfrac{23}{\sqrt{679}}\) có phương trình:
-
A.
\(\left( T \right):\,\,x-y-17z-7=0\) hoặc \(\left( T \right):\,\,53x+85y+65z-43=0\)
-
B.
\(\left( T \right):\,\,x-y-17z+7=0\) hoặc \(\left( T \right):\,\,53x+85y+65z+43=0\)
-
C.
\(\left( T \right):\,\,x-y-17z-7=0\) hoặc \(\left( T \right):\,\,53x+85y+65z+43=0\)
-
D.
\(\left( T \right):\,\,x-y-17z+7=0\) hoặc \(\left( T \right):\,\,53x+85y+65z-43=0\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(M\left( {2;1;5} \right)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\) Tính khoảng cách từ điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng \((P)\).
-
A.
\(\frac{{17\sqrt {30} }}{{30}}\)
-
B.
\(\frac{{13\sqrt {30} }}{{30}}\)
-
C.
\(\frac{{19\sqrt {30} }}{{30}}\)
-
D.
\(\frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,4, - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {0, - 2,1} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $A,B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Đường kính mặt cầu $\left( S \right)$ là
-
A.
\(2\sqrt {19} .\)
-
B.
\(2\sqrt {17} .\)
-
C.
\(\sqrt {19} .\)
-
D.
\(\sqrt {17} .\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\)
Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Hỏi phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$3$
-
D.
$2$
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh \(40\)cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
-
A.
\(\frac{800}{3}\text{c}{{\text{m}}^{2}}.\)
-
B.
\(\frac{400}{3}\text{c}{{\text{m}}^{2}}.\)
-
C.
\(\text{250c}{{\text{m}}^{2}}.\)
-
D.
\(800\text{c}{{\text{m}}^{2}}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;1;2} \right).$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$
-
A.
$3.$
-
B.
$1.$
-
C.
$4.$
-
D.
$8.$
Lời giải và đáp án
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là:
-
A.
\(N\left( {0;2; - 1} \right)\)
-
B.
\(N\left( {2;0;0} \right)\)
-
C.
\(N\left( {0;2;0} \right)\)
-
D.
\(N\left( {0;2;1} \right)\)
Đáp án : A
Hình chiếu của \(M\left( {x;y;z} \right)\) có hình chiếu trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có tọa độ \(\left( {0;y;z} \right)\).
Hình chiếu của điểm \(M\left( {2;2; - 1} \right)\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là \(N\left( {0;2; - 1} \right)\).
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3). Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oxy) là điểm
-
A.
\(N(1;2;0)\).
-
B.
\(M(0;0;3)\).
-
C.
\(P(1;0;0)\).
-
D.
\(Q(0;2;0)\).
Đáp án : A
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M({{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}})\) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm \(M'({{x}_{0}};{{y}_{0}};0)\)
Hình chiếu vuông góc của điểm A(1;2;3) trên mặt phẳng (Oxy) là điểm \(N(1;2;0)\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A\left( {1; - 1;0} \right),B\left( { - 1;0;2} \right),D\left( { - 2;1;1} \right),A'\left( {0;0;0} \right)\). Thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là:
-
A.
\(4\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(\dfrac{1}{6}\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;2;1} \right),\overrightarrow {AA'} = \left( { - 1;1;0} \right)\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 2\\ - 3\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 2\\ - 3\end{array}&\begin{array}{l}1\\2\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 3; - 4; - 1} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} = \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 + \left( { - 1} \right).0 = - 1\end{array}\)
Khi đó: \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right| = \left| { - 1} \right| = 1\)
Cho biết GTLN của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ là $M = - 2$. Chọn khẳng định đúng:
-
A.
$f\left( x \right) \geqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
B.
$f\left( 1 \right) = f\left( 3 \right) = - 2$
-
C.
$f\left( x \right) < - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
-
D.
$f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$
Đáp án : D
Nếu $M = - 2$ là GTLN của hàm số $y = f\left( x \right)$ trên $\left[ {1;3} \right]$ thì $f\left( x \right) \leqslant - 2,\forall x \in \left[ {1;3} \right]$.
Điều kiện để hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương là:
-
A.
\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\)
-
B.
\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow 0 \)
-
C.
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \)
-
D.
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\)
Đáp án : C
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương \(\overrightarrow {{u_2}} \).
Diện tích tam giác \(ABC\) không được tính theo công thức nào sau đây:
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right]} \right|\)
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right]} \right|\)
-
D.
\(\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB} } \right]} \right|\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \(ABC\): \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\).
Dễ thấy các công thức ở mỗi đáp án A, B, C đều có thể dùng được để tính diện tích tam giác \(ABC\), chỉ có công thức ở đáp án D sai nên chọn D.
Đồ thị sau là đồ thị hàm số nào?
-
A.
\(y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^x}\)
-
B.
\(y = {2^x}\)
-
C.
\(y = 3{x^3}\)
-
D.
\(y = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{ - x}}\)
Đáp án : D
- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.
- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.
Dáng đồ thị là của hàm số \(y = {a^x}\) với \(a > 1\) nên loại A và C.
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;3} \right)\) nên chỉ có D thỏa mãn.
Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành
-
A.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
B.
$I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
C.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
-
D.
$I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Đáp án : A
Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$
Cho véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {x;y;z} \right)\) và một số thực \(k \ne 0\). Tọa độ véc tơ \(\dfrac{1}{k}.\overrightarrow u \) là:
-
A.
\(\left( {kx;ky;kz} \right)\)
-
B.
\(\left( {\dfrac{x}{k};\dfrac{y}{k};\dfrac{z}{k}} \right)\)
-
C.
\(\left( {\dfrac{k}{x};\dfrac{k}{y};\dfrac{k}{z}} \right)\)
-
D.
\(\left( {k - x;k - y;k - z} \right)\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tích vô hướng của một số với một véc tơ: \(k\overrightarrow u = \left( {kx;ky;kz} \right)\)
Ta có: \(\dfrac{1}{k}\overrightarrow u = \left( {\dfrac{x}{k};\dfrac{y}{k};\dfrac{z}{k}} \right)\).
Cho hàm số $f\left( x \right)$liên tục trên $R$ và $\int\limits_{ - 2}^4 {f\left( x \right)} dx{\rm{ = 2}}$ . Mệnh đề nào sau đây là sai?
-
A.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
B.
$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( {x + 1} \right)} d{\rm{x = 2}}$
-
C.
$\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( {2x} \right)} d{\rm{x = 1}}$
-
D.
$\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f\left( {x - 2} \right)} d{\rm{x = 1}}$
Đáp án : A
Sử dụng phương pháp đổi biến số để tích tích phân ở các đáp án.
Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:
$\begin{array}{l}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^2 {f(2x)d(2x)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \\\int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)dx} = \int\limits_{ - 3}^3 {f(x + 1)d(x + 1)} = \int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 2} \\\int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)dx} = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{2}f(x - 2)d(x - 2)} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 2}^4 {f(x)dx = 1} \end{array}$
Do đó các đáp án B, C, D đều đúng, đáp án A sai.
Cho hàm số \(y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x\). Khẳng định nào sau đây sai?
-
A.
Hàm số đã cho nghịch biến trên tập xác định
-
B.
Đồ thị hàm số đã cho có một tiệm cận đứng là trục $Oy$
-
C.
Hàm số đã cho có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\)
-
D.
Đồ thị hàm số đã cho luôn nằm phía trên trục hoành.
Đáp án : D
Sử dụng tính chất của hàm số logarit như:
- Hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
- Khi \(0 < a < 1\) thì hàm số nghịch biến trên TXĐ.
- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là trục $Oy$.
- Hàm số \(y = {\log _{\frac{\pi }{4}}}x\) có tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).
- Vì \(0 < \dfrac{\pi }{4} < 1\) nên hàm số nghịch biến trên TXĐ
- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là trục $Oy$
- Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục hoành (vì \(x > 0\))
Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), khi đó độ dài đoạn thẳng \(AB\) được tính theo công thức:
-
A.
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
-
B.
\(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} + {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} + {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} + {z_A}} \right)}^2}} \)
-
C.
\(AB = {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)^2} + {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)^2} + {\left( {{z_B} - {z_A}} \right)^2}\)
-
D.
$AB = {\sqrt {\left( {{x_B} - {x_A}} \right)} ^2} + {\sqrt {\left( {{y_B} - {y_A}} \right)} ^2} + {\sqrt {\left( {{z_B} - {z_A}} \right)} ^2}$
Đáp án : A
Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\), khi đó độ dài đoạn thẳng \(AB\) được tính theo công thức: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {2; - 2; - 4} \right)\); \(\overrightarrow b = \left( {1; - 1;1} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây sai
-
A.
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {3; - 3; - 3} \right)\)
-
B.
\(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \)
-
C.
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)
-
D.
\(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
Đáp án : D
Xét tính đúng, sai cho từng đáp án, dựa vào các công thức cộng véc tơ, độ dài véc tơ, các tính chất hai véc tơ cùng phương, hai véc tơ vuông góc.
\(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2 + 1; - 2 - 1; - 4 + 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)\) nên A đúng.
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.1 + \left( { - 2} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right).1 = 0\) nên \(\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) hay B đúng.
\(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \) nên C đúng.
Vì \(\dfrac{2}{1} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 4}}{1}\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương hay D sai.
Trong không gian $Oxyz$ cho tam giác $ABC$ với điểm $A\left( { - 1; - 2;3} \right),B\left( {0;3;1} \right)$ và $C\left( {4;2;2} \right)$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$. Độ dài đường trung bình $MN$ bằng:
-
A.
\(\dfrac{{21}}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{9}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
Đáp án : D
- Tính độ dài đoạn thẳng \(BC\) , sử dụng công thức đoạn thẳng \(BC = \sqrt {{{\left( {{x_C} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_C} - {y_B}} \right)}^2} + {{\left( {{z_C} - {z_B}} \right)}^2}} \)
- Tính độ dài đoạn thẳng \(MN\), sử dụng tính chất đường trung bình \(MN = \dfrac{1}{2}BC\)
Có \(\overrightarrow {BC} = (4; - 1;1)\). Suy ra \(BC = 3\sqrt 2 \).
Theo tính chất đường trung bình có \(MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\sin 2x.\)
-
A.
\(\int{\sin 2x\,\text{d}x}=-\dfrac{\cos 2x}{2}+C.\)
-
B.
\(\int{\sin 2x\,\text{d}x}=-\,\cos 2x+C.\)
-
C.
\(\int{\sin 2x\,\text{d}x}=\dfrac{\cos 2x}{2}+C.\)
-
D.
\(\int{\sin 2x\,\text{d}x}=2\cos 2x+C.\)
Đáp án : A
Ta có \(\int{\sin 2x\,\text{d}x}\) \(=-\dfrac{\cos 2x}{2}+C.\)
Cho ba điểm\(M\left( 0;2;0 \right);N\left( 0;0;1 \right);A\left( 3;2;1 \right)\) . Lập phương trình mặt phẳng \(\left( MNP \right)\), biết điểm \(P\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) lên trục Ox.
-
A.
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{3}=1\) .
-
B.
\(\frac{x}{3}+\frac{y}{2}+\frac{z}{1}=0\) .
-
C.
\(\frac{x}{2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1\) .
-
D.
\(\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\) .
Đáp án : D
Xác định hình chiếu của P lên trục Ox và áp dụng phương trình đoạn chắn để tìm mặt phẳng
Vì \(P\) là hình chiếu của \(A\) trên \(Ox\) \( \Rightarrow \,\,P\left( {3;0;0} \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng là \(\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{1} = 1.\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu có phương trình: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 6z + 9 = 0\). Mặt cầu có tâm I và bán kính R là:
-
A.
\(I (-1; 2; -3)\) và \(R = \sqrt 5 \)
-
B.
\(I (1; -2; 3)\) và \(R = \sqrt 5 \)
-
C.
\(I (1; -2; 3)\) và \(R = 5\)
-
D.
\(I (-1; 2; -3)\) và \(R = 5\)
Đáp án : B
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)
Mặt cầu đã cho có tâm \(I\left( {1; - 2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2} - 9} = \sqrt 5 \).
Cho mặt cầu ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = 16$ và điểm $A\left( {1;2; - 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc mặt cầu sao cho độ dài đoạn $AM$ là lớn nhất.
-
A.
\(M(3;6;9)\)
-
B.
\(M(1;2; - 9)\)
-
C.
\(M(1;2;9)\)
-
D.
\(M( - 1; - 2;1)\)
Đáp án : B
+ Quan sát điểm A có vị trí tương đối như thế nào với mặt cầu rồi tìm ra phương pháp thích hợp.
Trường hợp này nhận thấy điểm A thuộc mặt cầu
Nên AM lớn nhất khi AM là đường kính của khối cầu
Tâm $I\left( {1;2; - 5} \right)$
Ta có \(\overrightarrow {AI} = (0;0; - 4) = \overrightarrow {IM} = (a - 1;b - 2;b + 5) \Rightarrow M(1;2; - 9)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(M\left( {2; - 1;1} \right)\) và vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1;3;4} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \)
-
A.
\(2{\rm{x}} - y + z + 3 = 0\)
-
B.
\(2{\rm{x}} - y + z - 3 = 0\)
-
C.
\(x + 3y + 4{\rm{z}} + 3 = 0\)
-
D.
\(x + 3y + 4{\rm{z}} - 3 = 0\)
Đáp án : D
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) là \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) + c\left( {z - {z_0}} \right) = 0\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(M\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) là
\(1\left( {{\rm{x}} - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 3y + 4{\rm{z}} - 3 = 0\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tất cả các giá trị của m để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0\) là phương trình mặt cầu.
-
A.
\(m\le 6\).
-
B.
\(m<6\).
-
C.
\(m>6\).
-
D.
\(m\ge 6\).
Đáp án : B
Điều kiện để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2ax-2by-2cz+d=0\)là phương trình mặt cầu là \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-d>0\).
Để phương trình \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+2z+m=0\) là phương trình mặt cầu thì \({{(-2)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}-m>0\Leftrightarrow m<6\)
Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\) quay quanh \(Oy\,\,?\)
-
A.
$V = 36\pi .$
-
B.
$V = 24\pi .$
-
C.
$V = 16\pi .$
-
D.
$V = 64\pi .$
Đáp án : D
Rút hàm số đã cho theo biến y : \(x = f\left( y \right)\), Vẽ hình và xác định các đường giới hạn.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn khi xoay quanh trục Oy của hình phẳng bị giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(x = f\left( y \right),x = g\left( y \right),y = a,y = b\) là \(V = \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( y \right) - {g^2}\left( y \right)} \right|dy} \).
\(\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow {x^2} = 16\left( {1 - \dfrac{{{y^2}}}{9}} \right) \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} \)
Phương trình tung độ giao điểm của đồ thị \(\left( E \right)\) với $Oy$ là \(\dfrac{0}{{16}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - \,3\\y = 3\end{array} \right..\)
Ta xét thể tích vật tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = \dfrac{4}{3}\sqrt {9 - {y^2}} \), đường thẳng $x = 0, y = 3, y = 0$ quanh trục $Ox$ là: \(V = \left| {\dfrac{{16}}{9}\pi \int\limits_0^3 {\left( {9 - {y^2}} \right)dy} } \right| = \left| {\dfrac{{16}}{9}\left. {\pi \left( {9y - \dfrac{{{y^3}}}{3}} \right)} \right|_0^3} \right| = 32\pi \).
Khi đó thể tích cần tìm là \(2V = 64\pi \).
Công thức nào sau đây không sử dụng để tính diện tích hình bình hành \(ABCD\)?
-
A.
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\)
-
B.
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)
-
C.
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|\)
-
D.
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|\)
Đáp án : D
Diện tích hình bình hành \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|\)
Hai công thức sau có được từ việc suy luận diện tích hình bình hành $ABCD$ bằng hai lần diện tích tam giác $ABC$ hoặc tam giác $DCB$.
Chỉ có đáp án D là công thức sai.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai vectơ
$\overrightarrow u = \left( {m; - 2;m + 1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {0;m - 2;1} \right)$.
Tất cả giá trị của \(m\) có thể có để hai vectơ $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương là:
-
A.
\(m = - 1.\)
-
B.
\(m = 0.\)
-
C.
\(m = 1.\)
-
D.
\(m = 2.\)
Đáp án : B
Điều kiện để hai véc tơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng phương là tồn tại số thực \(k\) sao cho \(\overrightarrow u = k\overrightarrow v \).
Ta có $\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ cùng phương $ \Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}:{\rm{ }}\overrightarrow u = k\overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\ - 2 = k\left( {m - 2} \right)\\m + 1 = k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\k = 1\end{array} \right..$
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}+2x\) là:
-
A.
\(\dfrac{{{x}^{4}}}{4}-{{x}^{2}}+C\)
-
B.
\(\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{2}}+C\)
-
C.
\(\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+C\)
-
D.
\({{x}^{2}}+C\)
Đáp án : B
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản: \(\int\limits_{{}}^{{}}{{{x}^{n}}dx}=\dfrac{{{x}^{n+1}}}{n+1}+C\)
\(\int\limits_{{}}^{{}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{{}}^{{}}{\left( {{x}^{3}}+2x \right)dx}=\dfrac{{{x}^{4}}}{4}+{{x}^{2}}+C\)
Diện tích tam giác \(OBC\) biết \(B\left( {1;0;2} \right),C\left( { - 2;0;0} \right)\) là:
-
A.
\(\sqrt 5 \)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(2\sqrt 5 \)
-
D.
\(2\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)
Ta có: \(\overrightarrow {OB} = \left( {1;0;2} \right),\overrightarrow {OC} = \left( { - 2;0;0} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}0\\0\end{array}&\begin{array}{l}2\\0\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\0\end{array}&\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}1\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}0\\0\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 4;0} \right)\)
Do đó \({S_{OBC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {0 + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 2\)
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như hình vẽ, chọn kết luận đúng:
-
A.
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right)$
-
B.
$\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = - 7$
-
C.
$\mathop {\min }\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right) = - 7$
-
D.
$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) < - 3$
Đáp án : B
Quan sát bảng biến thiên và tìm GTLN, GTNN của hàm số trên các đoạn ở từng đáp án.
Ta có:
+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;0} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3$ nên A sai.
+) $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 7$ nên B đúng.
+) Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty $ nên không tồn tại $\mathop {\min}\limits_{\left( { - \infty ;2} \right]} f\left( x \right)$ nên C sai.
+) $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = - 3$ nên D sai.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz - 27 = 0$ qua hai điểm $A\left( {3,2,1} \right),B\left( { - 3,5,2} \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):3x + y + z + 4 = 0$ . Tính tổng $S = a + b + c$.
-
A.
$S = - 2$
-
B.
$S = 2$
-
C.
$S = - 4$
-
D.
$S = - 12$
Đáp án : D
- Thay các tọa độ \(A,B\) vào phương trình của \(\left( P \right)\).
- $\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} .\overrightarrow {{n_{(Q)}}} = 0\)
- Giải hệ trên ta được \(a,b,c\).
$A,B$ thuộc $\left( P \right)$ nên ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\end{array}} \right.\)
$\left( P \right)$ vuông góc với $\left( Q \right)$ nên ta có điều kiện $3a + b + c = 0$.
Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + 2b + c - 27 = 0}&{}\\{ - 3a + 5b + 2c - 27 = 0}&{}\\{3a + b + c = 0}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}&{}\\{b = 27}&{}\\{c = - 45}&{}\end{array}} \right.\)
Suy ra $S = - 12$.
Cho \(f\left( x \right) = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} \). Nếu đặt \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t\) thì:
-
A.
\(f\left( x \right)dx = - tdt\)
-
B.
\(f\left( x \right)dx = 2tdt\)
-
C.
\(f\left( x \right)dx = - 2{t^2}dt\)
-
D.
\(f\left( x \right)dx = 2{t^2}dt\)
Đáp án : D
Sử dụng công thức đổi biến \(t = u\left( x \right) \Rightarrow f\left( {u\left( x \right)} \right)u'\left( x \right)dx = f\left( t \right)dt\)
Ta có: \(\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} = t \)
$\Rightarrow {t^2} = 1 - {\cos ^2}x \Rightarrow 2tdt = 2\cos x\sin xdx = \sin 2xdx \Rightarrow \sin 2xdx = 2tdt$
Suy ra \(f\left( x \right)dx = \sin 2x\sqrt {1 - {{\cos }^2}x} dx = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x} .\sin 2xdx = t.2tdt = 2{t^2}dt\)
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) là đường thẳng:
-
A.
\(x = 1\)
-
B.
\(y = 0\)
-
C.
\(y = 1\)
-
D.
\(x = 0\)
Đáp án : D
Đồ thị hàm số \(y = {\log _a}x\left( {0 < a \ne 1} \right)\) có đường tiệm cận đứng là \(x = 0\) (trục \(Oy\))
Tìm $m$ để hàm số $y = \dfrac{{{x^3}}}{3} - 2m{x^2} + 4mx + 2$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.
-
A.
$m < - \dfrac{1}{3}$
-
B.
$m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
-
C.
$m \leqslant - \dfrac{4}{3}$
-
D.
$m \leqslant 0$
Đáp án : B
- Bước 1: Nêu điều kiện để hàm số đơn điệu trên $D$:
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \geqslant 0,\forall x \in D$.
+ Hàm số $y = f\left( x \right)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y' = f'\left( x \right) \leqslant 0,\forall x \in D$.
- Bước 2: Từ điều kiện trên sử dụng các cách suy luận khác nhau cho từng bài toán để tìm $m$.
Chú ý: Dưới đây là một trong những cách hay được sử dụng:
- Rút $m$ theo $x$ sẽ xảy ra một trong hai trường hợp: $m \geqslant g\left( x \right),\forall x \in D$ hoặc $m \leqslant g\left( x \right),\forall x \in D$.
- Khảo sát tính đơn điệu của hàm số $y = g\left( x \right)$ trên $D$.
- Kết luận: Đánh giá $g(x)$ suy ra giá trị của $m$
- Bước 3: Kết luận.
Ta có: $y' = {x^2} - 4mx + 4m$.
Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2;0} \right) \Rightarrow y' \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4mx + 4m \leqslant 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 4m\left( {x - 1} \right) \leqslant 0 \Leftrightarrow 4m\left( {x - 1} \right) \geqslant {x^2} \Leftrightarrow 4m \leqslant \dfrac{{{x^2}}}{{x- 1}}$ (vì $ - 2 < x < 0$)
Xét hàm $g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{x - 1}}$ trên $\left( { - 2;0} \right)$ ta có:
$g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 0 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\x = 2 \notin \left( { - 2;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)$
Do đó hàm số $y = g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( { - 2;0} \right)$
Suy ra \(g\left( { - 2} \right) < g\left( x \right) < g\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\) hay \( - \dfrac{4}{3} < g\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 2;0} \right)\)
Khi đó \(4m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;0} \right) \Leftrightarrow 4m \le - \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow m \le - \dfrac{1}{3}\)
Vậy $m \leqslant - \dfrac{1}{3}$
Cho hàm số $y = \dfrac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + (2m - 4)x - 3.$ Tìm $m$ để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn: $x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10$
-
A.
$m = 1$
-
B.
$m = \dfrac{1}{2}$
-
C.
$m = 1;m = \dfrac{1}{2}$
-
D.
$m = 3$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính $y'$.
- Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị $ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.
- Bước 3: Sử dụng hệ thức Vi-et để thay $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + {x_2} = S \hfill \\{x_1}{x_2} = P \hfill \\\end{gathered} \right.$ và tìm $m$.
\(y' = {x^2} - 2mx + 2m - 4\)
Để hàm số có cực đại cực tiểu \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0,\forall m \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 4 > 0,\forall m\)
Khi đó phương trình $y'=0$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a} = 2m\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2m - 4\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = {x_1}.{x_2} + 10\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2} - 10 = 0\\ \Leftrightarrow {(2m)^2} - 3.(2m - 4) - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 6m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$
-
A.
$M = - 10$
-
B.
$M = - 7$
-
C.
$M = - 5$
-
D.
$M = 1$
Đáp án : C
- Bước 1: Tính $y'$, giải phương trình $y' = 0$ tìm các nghiệm ${x_1},{x_2},...{x_n}$ thỏa mãn $a \leqslant {x_1} < {x_2}< ... < {x_n} \leqslant b$.
- Bước 2: Tính các giá trị $f\left( a \right),f\left( {{x_1}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( b \right)$.
- Bước 3: So sánh các giá trị tính được ở trên và kết luận:
+ Giá trị lớn nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTLN $M$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.
+ Giá trị nhỏ nhất tìm được trong số các giá trị ở trên là GTNN $m$ của hàm số trên $\left[ {a;b} \right]$.
$y' = 3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered}x = 3 \in \left[ {2;4} \right] \hfill \\x = \dfrac{1}{3} \notin \left[ {2;4} \right] \hfill \\ \end{gathered} \right.$
$f\left( 2 \right) = - 7,f\left( 3 \right) = - 10,f\left( 4 \right) = - 5$
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số $y = {x^3} - 5{{\text{x}}^2} + 3{\text{x}} - 1$ trên đoạn $\left[ {2;4} \right]$ là $M = - 5$
Hàm số \(y = {2^{\ln x + {x^2}}}\) có đạo hàm là
-
A.
\(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}\)
-
B.
\(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2\)
-
C.
\(\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)
-
D.
\(\left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right)\dfrac{{{2^{\ln x + {x^2}}}}}{{\ln 2}}\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp: $\left( {{a^u}} \right)' = {\rm{ }}u'.{a^u}.lna$
Có $y = {2^{\ln x + {x^2}}} \Rightarrow y' = \left( {\dfrac{1}{x} + 2x} \right){2^{\ln x + {x^2}}}.\ln 2$
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}\).
-
A.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C\).
-
B.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C\).
-
C.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{1}{3}\sqrt {4 - {x^2}} + C\).
-
D.
\(\int {f\left( x \right)d{\rm{x}}} = - \dfrac{2}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C\).
Đáp án : A
- Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \)
- Tính \(dx\) theo \(dt\) và tìm nguyên hàm.
Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow {x^2} = 4 - {t^2} \Rightarrow xdx = - tdt\).
Khi đó
$\int {\dfrac{{{x^3}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}d{\rm{x}}} = \int {\dfrac{{\left( {4 - {t^2}} \right)\left( { - tdt} \right)}}{t} = \int {\left( {{t^2} - 4} \right)dt = \dfrac{{{t^3}}}{3} - 4t + C} } $ $ = \dfrac{{{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^3}}}{3} - 4\sqrt {4 - {x^2}} + C = - \dfrac{1}{3}\left( {{x^2} + 8} \right)\sqrt {4 - {x^2}} + C$
Nếu \(\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{ -{\frac{x}{2}}}}} \right)dx} = K - 2e\) thì giá trị của \(K\) là
-
A.
\(12,5\).
-
B.
\(9\).
-
C.
\(11\).
-
D.
\(10\).
Đáp án : D
Sử dụng công thức nguyên hàm hàm số mũ \(\int {{e^{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\) và nguyên hàm hàm đa thức.
\(K = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {4 - {e^{-\frac{x}{2}}}} \right)dx} + 2e = \left. {\left( {4x + 2{e^{-\frac{x}{2}}}} \right)} \right|_{ - 2}^0 + 2e = 2 - \left( { - 8 + 2e} \right) + 2e = 10\)
Biết rằng \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx = \ln a} \) với \(a \in R\). Khi đó giá trị của $a$ bằng:
-
A.
$a = 2$
-
B.
\(a = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(a = \sqrt 2 \)
-
D.
$a = 4$
Đáp án : C
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt \({x^2} + 1 = t \Rightarrow 2xdx = dt \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)
Khi đó ta có:
$I = \int\limits_0^1 {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{dt}}{t}} = \dfrac{1}{2}\left. {\ln \left| t \right|} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2}\left( {\ln 2 - \ln 1} \right) $
$= \dfrac{1}{2}\ln 2 = \ln \sqrt 2 \Rightarrow a = \sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)$
Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là
-
A.
\(T=10\).
-
B.
\(T=9\).
-
C.
\(T=8\).
-
D.
\(T=11\).
Đáp án : C
Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.
Đặt \({{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt\).
Đổi cận:
$\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 9\\
x = 4 \Rightarrow t = 25
\end{array}$
Khi đó, ta có: \(I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8\)
Suy ra, \(a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8\)
Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường $y=f\left( x \right),~$trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1,x = 2\) (như hình vẽ). Đặt $a=\underset{-1}{\overset{0}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx,~b=\underset{0}{\overset{2}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)dx.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
A.
\(S = b - a.\)
-
B.
\(S = b + a.\)
-
C.
\(S = - b + a.\)
-
D.
\(S = - b - a.\)
Đáp án : A
- Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục \(Ox\) và hai đường thẳng \(x = a,x = b\left( {a < b} \right)\) là:\(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \)
- Công thức tổng 2 tích phân $\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} $
Diện tích hình phẳng là S =\(\int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f(x)} \right|} dx\)
Dựa vào hình vẽ ta có được: $S = \int\limits_{ - 1}^0 {(0 - f(x))dx} + \int\limits_0^2 {f(x)dx} = - \int\limits_{ - 1}^0 {f(x)dx + } \int\limits_0^2 {f(x)dx} = b - a$
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm \(A(0;2; - 1)\) , \(B(2;0;1)\). Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho :\(M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị bé nhất.
-
A.
\(M(0;1;0)\)
-
B.
\(M(0;2;1)\)
-
C.
\(M(0;1;2)\)
-
D.
\(M(0; - 1;1)\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng:
Cho hai điểm \(A({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(B({b_1};{b_2};{b_3})\)ta có: \(AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{({b_1} - {a_1})}^2} + {{({b_2} - {a_2})}^2} + {{({b_3} - {a_3})}^2}} \)
$M$ thuộc trong mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$, giả sử \(M(0;m;n)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}MA = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} = \sqrt {{{(m - 2)}^2} + {{(n + 1)}^2}} \\MB = \sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(m - 0)}^2} + {{(n - 1)}^2}} = \sqrt {{m^2} + {{(n - 1)}^2} + 4} \end{array}\)
Suy ra
\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} = {(m - 2)^2} + {(n + 1)^2} + {m^2} + {(n - 1)^2} + 4\\ = 2{m^2} - 4m + 2{n^2} + 10 = 2({m^2} - 2m + 1) + 2{n^2} + 8\\ = 2{(m - 1)^2} + 2{n^2} + 8 \ge 8\end{array}\)
\( \Rightarrow \min \left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 8 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\n = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = 0\end{array} \right.\).
Vậy \(M(0;1;0)\)
Cho $A\left( {1;2;5} \right),B\left( {1;0;2} \right),C\left( {4;7; - 1} \right),D\left( {4;1;a} \right)$. Để $4$ điểm $A,B,C,D$ đồng phẳng thì $a$ bằng:
-
A.
$ - 10$
-
B.
$0$
-
C.
$7$
-
D.
$ - 7$
Đáp án : A
Bốn điểm \(A,B,C,D\) được gọi là đổng phẳng nếu và chỉ nếu \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) đồng phẳng \( \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0\)
Có
$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 1;0 - 2;2 - 5} \right) = \left( {0; - 2; - 3} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {4 - 1;7 - 2; - 1 - 5} \right) = \left( {3;5; - 6} \right)\\\overrightarrow {AD} = \left( {4 - 1;1 - 2;a - 5} \right) = \left( {3; - 1;a - 5} \right)\end{array} \right.\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 3}\\5&{ - 6}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&0\\{ - 6}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 2}\\3&5\end{array}} \right|} \right) = \left( {27; - 9;6} \right)\\ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = \left( {27; - 9;6} \right).\left( {3; - 1;a - 5} \right) = 60 + 6a\end{array}$
$A,B,C,D$ đồng phẳng khi \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 0 \Leftrightarrow 60 + 6a = 0 \Leftrightarrow a = - 10\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho sáu điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {2; - 1;1} \right)\), \(C\left( {3;3; - 3} \right)\), \(A',\,\,B',\,\,C'\) thỏa mãn \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \). Nếu \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) thì \(G'\) có tọa độ là:
-
A.
\(\left( {2;\dfrac{4}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\)
-
B.
\(\left( {2; - \dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
-
C.
\(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)\)
-
D.
$\left( { - 2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$
Đáp án : C
Nhận xét trọng tâm của hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) rồi suy ra kết luận.
Gọi \(G'\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'C'\).
Ta có \(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {G'A} + \overrightarrow {AA'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {BB'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'C} + \overrightarrow {CC'} } \right) = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {G'A} + \overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {G'C} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow 0 \).
Suy ra \(G'\) cũng là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên có tọa độ \(\left( {2;\dfrac{4}{3};\dfrac{1}{3}} \right).\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {4;0;1} \right)\), \(C\left( { - 10;5;3} \right)\). Độ dài đường phân giác trong góc \(\widehat B\) của tam giác \(ABC\) bằng:
-
A.
\(2\sqrt 3 \)
-
B.
\(2\sqrt 5 \)
-
C.
\(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)
-
D.
\(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Đáp án : B
- Gọi \(D\) là điểm cần tìm.
- Tìm mối quan hệ giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {DC} \) và \(\overrightarrow {DA} \) dựa vào tính chất đường phân giác.
- Dựa vào mối quan hệ trên tìm tọa độ điểm \(D\).
Gọi \(D\) là chân phân giác trong của góc \(\widehat B\), ta có \(\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{3}{{15}} \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {DC} \)
Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {DA} = - \dfrac{1}{5}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow - 5\overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5\left( {2 - x} \right) = - 10 - x\\ - 5\left( { - 1 - y} \right) = 5 - y\\ - 5\left( {3 - z} \right) = 3 - z\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6x = 0\\6y = 0\\6z = 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \(D\left( {0;0;3} \right)\). Vậy \(BD = 2\sqrt 5 \).
Cho hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2x - 5$ có đồ thị $\left( C \right)$. Có bao nhiêu cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ mà tiếp tuyến với đồ thị tại chúng là hai đường thẳng song song?
-
A.
Không tồn tại cặp điểm nào
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
Vô số cặp điểm
Đáp án : D
Gọi hệ số góc của hai tiếp tuyến song song là $m$, khi đó số cặp điểm thỏa mãn chính là số cặp nghiệm của phương trình $y' = m$ với $m$ bất kì.
Ta có: $y' = 3{{\text{x}}^2} - 6{\text{x}} + 2$
Số cặp điểm thuộc đồ thị $\left( C \right)$ có tiếp tuyến song song nhau
$ \Leftrightarrow $ số cặp nghiệm phương trình $3{{\text{x}}^2} - 6{\text{x}} + 2 = m$ với $m \in R$ thỏa mãn phương trình $3{x^2} - 6x + 2 = m$ có hai nghiệm phân biệt.Có vô số giá trị của $m$ để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt nên có vô số cặp điểm.
Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x+y-3z+1=0;\,\,\left( Q \right):\,\,2x+3y+z-1=0\); \(\left( R \right):\,\,x+2y+4z-2=0\). Xét mặt phẳng (T) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), có $\overrightarrow {{n_{\left( T \right)}}} = \left( {1;a;b} \right)$ và tạo với mặt phẳng (R) một góc \(\alpha \). Biết \(\cos \alpha =\dfrac{23}{\sqrt{679}}\) có phương trình:
-
A.
\(\left( T \right):\,\,x-y-17z-7=0\) hoặc \(\left( T \right):\,\,53x+85y+65z-43=0\)
-
B.
\(\left( T \right):\,\,x-y-17z+7=0\) hoặc \(\left( T \right):\,\,53x+85y+65z+43=0\)
-
C.
\(\left( T \right):\,\,x-y-17z-7=0\) hoặc \(\left( T \right):\,\,53x+85y+65z+43=0\)
-
D.
\(\left( T \right):\,\,x-y-17z+7=0\) hoặc \(\left( T \right):\,\,53x+85y+65z-43=0\)
Đáp án : D
+) Viết phương trình \(\left( \Delta \right)\) là giao tuyến của (P) và (Q)
+) \({{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}=\left( 1;a;b \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (T) \(\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}.{{\overrightarrow{u}}_{\left( \Delta \right)}}=0\)
+) Mặt phẳng (T) và (R) tạo với nhau một góc \(\alpha \) có \(\cos \alpha =\frac{23}{\sqrt{679}}\) nên \(\left| \cos \left( {{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}};{{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}} \right) \right|=\cos \alpha \)
Giao tuyến của (P) và (Q) là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y - 3z + 1 = 0\\2x + 3y + z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y - 6z + 2 = 0\\2x + 3y + z - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow y + 7z - 3 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 10t\\y = 3 - 7t\\z = t\end{array} \right.\,\,\,\,\left( \Delta \right) \\ \Rightarrow {\overrightarrow u _{\left( \Delta \right)}} = \left( {10; - 7;1} \right)\\\left( T \right) \supset \Delta \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( T \right)}} \bot {\overrightarrow u _{\left( \Delta \right)}} \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( T \right)}}.{\overrightarrow u _{\left( \Delta \right)}} = 0\end{array}\)
\({{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}=\left( 1;a;b \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (T) ta có: \(10-7a+b=0\Rightarrow b=7a-10\).
Mặt phẳng (R) có \({{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left( 1;2;4 \right)\).
Mặt phẳng (T) và (R) tạo với nhau một góc \(\alpha \) có \(\cos \alpha =\frac{23}{\sqrt{679}}\) nên
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( T \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( R \right)}}} \right)} \right| = \cos \alpha = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Rightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4b}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4\left( {7a - 10} \right)}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {{\left( {7a - 10} \right)}^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{30a - 39}}{{\sqrt {21} .\sqrt {50{a^2} - 140a + 101} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {30a - 39} \right)}^2}}}{{21\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)}} = \frac{{529}}{{679}}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 679\left( {900{a^2} - 2340a + 1521} \right) = 11109\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = \frac{{85}}{{53}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 17\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{85}}{{53}}\\b = \frac{{65}}{{53}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + {d_1} = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z + {d_2} = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Lấy \(M\left( -4;3;0 \right)\in \left( \Delta \right)\Rightarrow M\in \left( T \right)\), thay vào ta có : \(\left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + 7 = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z - 43 = 0\end{array} \right.\)
Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(M\left( {2;1;5} \right)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\) Tính khoảng cách từ điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng \((P)\).
-
A.
\(\frac{{17\sqrt {30} }}{{30}}\)
-
B.
\(\frac{{13\sqrt {30} }}{{30}}\)
-
C.
\(\frac{{19\sqrt {30} }}{{30}}\)
-
D.
\(\frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}\)
Đáp án : D
Tứ diện vuông O.ABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là trực tâm của tam giác ABC thì OH vuông với với mặt phẳng (ABC)
Vì \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow \,\,OM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \,\,{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {OM} = \left( {2;1;5} \right)\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(2\left( {x - 2} \right) + y - 1 + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 30 = 0.\)
Khoảng cách từ điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng (P) là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 + 15 - 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {30} }} = \frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {2,4, - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {0, - 2,1} \right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu đi qua $A,B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$. Đường kính mặt cầu $\left( S \right)$ là
-
A.
\(2\sqrt {19} .\)
-
B.
\(2\sqrt {17} .\)
-
C.
\(\sqrt {19} .\)
-
D.
\(\sqrt {17} .\)
Đáp án : A
- Gọi tọa độ tâm mặt cầu theo tham số của đường thẳng \(d\).
- \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B \Leftrightarrow IA = IB\), từ đó tìm được tọa độ \(I\) và bán kính \(IA\) suy ra đường kính \(2IA\).
Giả sử tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right)$ thuộc $d$, ta có $I\left( {1 + 2t,2 - t,1 + t} \right)$. Vì mặt cầu $\left( S \right)$ qua $A$ và $B$ nên ta có $IA = IB = R$ .
Từ giả thiết $IA = IB$ ta có \(I{A^2} = I{B^2}\)
\( \Leftrightarrow {(2t - 1)^2} + {(t + 2)^2} + {(2 + t)^2} = {(1 + 2t)^2} + {(4 - t)^2} + {t^2}\)
\( \Leftrightarrow - 4t + 4t + 4 + 4t + 4 = 4t - 8t + 16\)
\( \Leftrightarrow 8t = 8\)
\( \Leftrightarrow t = 1\)
Suy ra $I\left( {3,1,2} \right)$ . Do đó \(R = IA = \sqrt {9 + 9 + 1} = \sqrt {19} \)
Do đó, đường kính mặt cầu là \(2R = 2\sqrt {19} \)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đi qua ba điểm $M\left( {2;3;3} \right),{\rm{ }}N\left( {2; - 1; - 1} \right),{\rm{ }}P\left( { - 2; - 1;3} \right)$ và có tâm thuộc mặt phẳng \((\alpha ):2x + 3y - z + 2 = 0\).
-
A.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 10 = 0\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 6z - 2 = 0\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 6z + 2 = 0\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 2 = 0\)
Đáp án : B
Xét từng đáp án:
- Xác định tâm mặt cầu và thay vào mặt phẳng.
- Tính bán kính mặt cầu và kiểm tra khoảng cách từ tâm đến các điểm \(A,B,C\) bằng bán kính.
- Liệt kê các phương trình mặt cầu cho trong 4 đáp án
+ A cho mặt cầu tâm \({I_A}(1, - 1,1)\) và \({R_A} = \sqrt {13} \)
+ B cho mặt cầu tâm \({I_B}(2, - 1,3)\) và \({R_B} = 4\)
+ C cho mặt cầu tâm \({I_C}( - 2,1, - 3)\) và \({R_C} = 2\sqrt 3 \)
+ D cho mặt cầu tâm \({I_D}(1, - 1,1)\) và \({R_D} = \sqrt 5 \)
- Kiểm tra các tâm có thuộc mặt phẳng \((\alpha )\) hay không. Loại được đáp án C.
- Ta thấy\({I_A} \equiv {I_D} = I(1, - 1,1)\), nên ta tính bán kính $R = IM$ rồi so sánh với \({R_A},{R_D}\) .
Có \(IM = \sqrt {{1^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {21} \) . Ta thấy \(IM \ne {R_A} \ne {R_D}\). Loại A và D
Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Hỏi phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$3$
-
D.
$2$
Đáp án : D
+) Nguyên hàm hai vế tìm f(x).
+) Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$.
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R\\ \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right){{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}dx} = \int\limits_{}^{} {x{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{}^{} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \int\limits_{}^{} {xd\left( {{e^x}} \right)} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx} + C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - {e^x} + C\\ \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + C} \right)\\f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow {1^{2019}} = 2019C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{2019}}\\ \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e} \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} = 0\end{array}\)
Xét hàm số $f\left( x \right) = 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}}$ ta có
$f'\left( x \right) = 2019\left( {{e^x} + x{e^x} - {e^x}} \right) = 2019x{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$
$f\left( 0 \right) = - 2018 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} < 0$
Lập BBT ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $ \Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right) = - \dfrac{1}{e}$ có 2 nghiệm phân biệt.
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh \(40\)cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng
-
A.
\(\frac{800}{3}\text{c}{{\text{m}}^{2}}.\)
-
B.
\(\frac{400}{3}\text{c}{{\text{m}}^{2}}.\)
-
C.
\(\text{250c}{{\text{m}}^{2}}.\)
-
D.
\(800\text{c}{{\text{m}}^{2}}.\)
Đáp án : B
+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của viên gạch hình vuông. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông.
+) Tính diện tích của một cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất. Xác định các phương trình parabol tạo nên cánh hoa đó.
+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Với \(A\left( 20;20 \right)\), xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất.
Hai Parbol có phương lần lượt là: \(y=a{{x}^{2}}\,\,\left( {{P}_{1}} \right)\) và \(x=a{{y}^{2}}\,\,\left( {{P}_{2}} \right)\)
Do Parabol \(\left( {{P}_{1}} \right)\) qua điểm \(A\left( 20;20 \right)\Rightarrow a=\frac{20}{{{20}^{2}}}=\frac{1}{20}\Rightarrow y=\frac{{{x}^{2}}}{20}\)
Do Parabol \(\left( {{P}_{2}} \right)\) qua điểm \(A\left( 20;20 \right)\Rightarrow a=\frac{20}{{{20}^{2}}}=\frac{1}{20}\Rightarrow x=\frac{{{y}^{2}}}{20}\Leftrightarrow y=\sqrt{20x}\)
Diện tích phân tô đậm ở góc phần tư thứ nhất là:
\(S=\int\limits_{0}^{20}{\left( \sqrt{20x}-\frac{{{x}^{2}}}{20} \right)dx}=\left( \frac{2}{3}\sqrt{20{{x}^{3}}}-\frac{{{x}^{3}}}{60} \right)\left| \begin{align}& ^{20} \\ & _{0} \\ \end{align} \right.=\frac{400}{3}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;1;2} \right).$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$
-
A.
$3.$
-
B.
$1.$
-
C.
$4.$
-
D.
$8.$
Đáp án : A
+) Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng đoạn chắn.
+) Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) sau đó suy ra mối quan hệ giữa a, b, c.
Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\) là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$
$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$
Lại có $OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$
Suy ra $\left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = - \,b = c\end{array} \right.$ và $\left[ \begin{array}{l}a = b = - \,c\\a = - \,b = - \,c\end{array} \right.,$ mà $a = b = - \,c$ không thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right).$
Vậy có $3$ mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
