-
Đề kiểm tra 15 phút
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút – Chương IV – Giải tích 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 15 phút - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề kiểm tra 1 tiết
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương IV - Giải Tích 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương I - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương II - Hình học 12
-
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương III - Hình học 12
-
-
Đề thi giữa học kì 1
-
Đề thi học kì 1
-
Đề thi giữa học kì 2
-
Đề thi học kì 2
-
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
Đề thi học kì 2 Toán 12 - Đề số 4
Đề bài
Tích phân \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}\) bằng:
-
A.
\({{e}^{-2}}\)
-
B.
\({{e}^{3}}-e\)
-
C.
\(e-{{e}^{3}}\)
-
D.
\({{e}^{2}}\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm
$A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác \(ABC\). Giá trị của $a + b + c$ bằng:
-
A.
$4$
-
B.
$5$
-
C.
$7$
-
D.
$6$
Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:
-
A.
$z$ là số thuần ảo
-
B.
Môđun của $z$ bằng $1$
-
C.
$z$ là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0
-
D.
Phần thực của $z$ là số âm
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng \(2\)?
-
A.
\(\int\limits_1^2 {{e^x}dx} \).
-
B.
\(\int\limits_0^1 {2dx} \).
-
C.
\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} \).
-
D.
\(\int\limits_0^1 {xdx} \).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{\sqrt 3 }}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{7\sqrt 3 }}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{\sqrt {21} }}\)
Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó
-
A.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
-
B.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
-
C.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
-
D.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\) trên \(\left( 0;\,+\infty \right)\).
-
A.
\(-3\sin x+\dfrac{1}{x}+C\).
-
B.
\(3\sin x-\dfrac{1}{x}+C\).
-
C.
\(3\cos x+\dfrac{1}{x}+C\).
-
D.
\(3\cos x+\ln x+C\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {0;0;1} \right)\), \(B\left( {0; - 1;0} \right)\) và \(C\left( {2;1; - 2} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác. Phương trình đường thẳng \(AG\) là:
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
-
B.
\(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - \dfrac{2}{3}}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + \dfrac{1}{3}}}{{ - 2}}\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;0; - 2} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right),\left( R \right)$ cho trước với $\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0$ và $\left( {{\rm{ }}R} \right):2x - 3y + z + 1 = 0$ .
-
A.
$2x + 4y + z = 0$
-
B.
$x + 2y - z - 3 = 0$
-
C.
$x + y + z + 1 = 0$
-
D.
$x + y + z - 1 = 0$
Tìm điểm $M$ biểu diễn số phức \(z = i - 2\)
-
A.
\(M(1; - 2)\)
-
B.
\(M(2; - 1)\)
-
C.
\(M( - 2;1)\)
-
D.
\(M(2;1)\)
Với cách đổi biến \(u=\sqrt{1+3\ln x}\) thì tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx\) trở thành:
-
A.
\(\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
-
B.
\(\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
-
C.
\(2\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
-
D.
\(\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{u}du}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
-
A.
\(\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.\)
-
B.
\(\int{0\,\text{d}x}=C.\)
-
C.
\(\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.\)
-
D.
\(\int{\text{dx}}=x+C.\)
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):$ \(2x-y+3z-2=0\). Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là
-
A.
\(\overrightarrow{n}=(1;-1;3)\).
-
B.
\(\overrightarrow{n}=(2;-1;3)\).
-
C.
\(\overrightarrow{n}=(2;1;3)\).
-
D.
\(\overrightarrow{n}=(2;3;-2)\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và điểm \(A\) trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của \(z\). Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $w = \dfrac{1}{{iz}}$ là một trong bốn điểm \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q\). Khi đó điểm biểu diễn của số phức $w$ là
-
A.
Điểm \(M\).
-
B.
Điểm \(N\).
-
C.
Điểm \(P\).
-
D.
Điểm \(Q\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x+y+z-5=0\) và \(\left( Q \right):x+2y+z-4=0.\) Khi đó, giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có phương trình là
-
A.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..\)
-
B.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
-
C.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-\,1+t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..\)
-
D.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu tâm $I\left( {6,3, - 4} \right)$ tiếp xúc với $Ox$ có bán kính $R$ bằng:
-
A.
$R = 6$
-
B.
$R = 5$
-
C.
$R = 4$
-
D.
$R = 3$
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\({z_1} + {z_2} = 2i\)
-
B.
\({z_1}{z_2} = - 2i\)
-
C.
\({z_1}{z_2} = 2i\)
-
D.
\({z_1} + {z_2} = - 2i\)
Gọi $M$ và $N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1};{z_2}$ khác $0$. Khi đó khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
$\left| {{z_2}} \right| = ON$
-
B.
$\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$
-
C.
$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN$
-
D.
$\left| {{z_1}} \right| = OM$
Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(P): 2x – y + z – 2 = 0$?
-
A.
\(Q\left( 1;-2;2 \right)\)
-
B.
\(N\left( 1;-1;-1 \right)\)
-
C.
\(P\left( 2;-1;-1 \right)\)
-
D.
\(M\left( 1;1;-1 \right)\)
Chọn kết luận đúng:
-
A.
Số phức \( - 3\) chỉ có một căn bậc hai là \( - \sqrt 3 \).
-
B.
Số phức \( - 3\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt 3 \).
-
C.
Số phức \( - 3\) chỉ có một căn bậc hai là \(3i\).
-
D.
Số phức \( - 3\) có hai căn bậc hai là \( \pm 3i\).
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=6,\) tiếp xúc với hai mặt phẳng \((P):x+y+2z\,+\,5=0,\,\,(Q):2x-y+z\,-\,5=0\) lần lượt tại các tiếp điểm \(A,\,\,B.\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là
-
A.
\(2\sqrt{3}.\)
-
B.
\(\sqrt{3}.\)
-
C.
\(2\sqrt{6}.\)
-
D.
\(3\sqrt{2}.\)
Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} \) thành:
-
A.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} \)
-
B.
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
-
C.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
-
D.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} \)
Giả sử \(A,B\) là các hằng số của hàm số \(f\left( x \right) = A\sin \pi x + B{x^2}\). Biết \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\), giá trị của \(B\) là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
D.
Kết quả khác
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A,\) vuông góc và cắt \(d\).
-
A.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
-
B.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$.
-
C.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
-
D.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha ):4x + 3y - 7z + 3 = 0$ và điểm $I(0;1;1)$. Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ qua $I$ là:
-
A.
$(\beta ):4x + 3y - 7z - 3 = 0$
-
B.
$(\beta ):4x + 3y - 7z + 11 = 0$
-
C.
$(\beta ):4x + 3y - 7z - 11 = 0$
-
D.
$(\beta ):4x + 3y - 7z + 5 = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( 1;0;-\,2 \right),\) bán kính \(R=4\,\,?\)
-
A.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16.\)
-
B.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4.\)
-
C.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.\)
-
D.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4.\)
Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức \(w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z \)
-
A.
$w = 16 + 7i$
-
B.
$w = 4 + 7i$
-
C.
$w = 7 + 5i$
-
D.
$w = 7 + 4i$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) tam giác \(ABC\) có \(A\left( -\,1;-\,2;4 \right),\,\,B\left( -\,4;-\,2;0 \right)\) và \(C\left( 3;-\,2;1 \right).\) Tính số đo của góc \(B.\)
-
A.
\({{45}^{0}}.\)
-
B.
\({{120}^{0}}.\)
-
C.
\({{90}^{0}}.\)
-
D.
\({{60}^{0}}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - 2z = 0\). Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\)?
-
A.
\(M\left( {0;1; - 1} \right)\).
-
B.
\(N\left( {0;3;2} \right)\).
-
C.
\(P\left( { - 1;6; - 1} \right)\).
-
D.
\(Q\left( {1;2;0} \right)\).
Tính tổng \(T\) của phần thực và phần ảo của số phức \(z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.\)
-
A.
\(T = 11\).
-
B.
\(T = 11 + 6\sqrt 2 \).
-
C.
\(T = - 7 + 6\sqrt 2 \).
-
D.
\(T = - 7\).
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right)=4,\) giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng
-
A.
\(\frac{7}{3}.\)
-
B.
\(\frac{5}{3}.\)
-
C.
\(\frac{3}{2}.\)
-
D.
\(\frac{7}{2}.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\left( {1 - \cos x} \right)}^n}\sin xdx} \) bằng:
-
A.
\(I = \dfrac{1}{{n + 1}}\)
-
B.
\(I = \dfrac{1}{{n - 1}}\)
-
C.
\(I = \dfrac{1}{{2n}}\)
-
D.
\(I = - \dfrac{n}{{n + 1}}\)
Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}}$ và $f\left( x \right)$ là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = - \,1,\,\,f\left( 1 \right) = 0.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} .$
-
A.
$I = 0.$
-
B.
$I = - \,1.$
-
C.
$I = 1.$
-
D.
$I = 2.$
Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ $Oxy$ là \(16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)\) như hình vẽ bên. Tính diện tích $S$ của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ $Oxy$ tương ứng với chiều dài $1$ mét
-
A.
\(S = \dfrac{{125}}{6}({m^2})\)
-
B.
\(S = \dfrac{{125}}{4}\left( {{m^2}} \right)\)
-
C.
\(S = \dfrac{{250}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
-
D.
\(S = \dfrac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục \(Oxy\) thì nó có đỉnh \(\left( {0;8} \right)\) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là \(\left( { - 4;0} \right)\). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.
-
A.
\(\dfrac{{128}}{3}{m^2}\)
-
B.
\(\dfrac{{131}}{3}{m^2}\)
-
C.
\(\dfrac{{28}}{3}{m^2}\)
-
D.
\(\dfrac{{26}}{3}m\)
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y = - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b},$ với $a,\,\,b > 0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T = a + b.$
-
A.
$T = 33.$
-
B.
$T = 31.$
-
C.
$T = 29.$
-
D.
$T = 27.$
Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh $Ox$ bằng :
-
A.
\(\dfrac{{81\pi }}{{35}}\)
-
B.
\(\dfrac{{53\pi }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{81}}{{35}}\)
-
D.
\(\dfrac{{21\pi }}{5}\)
Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
-
A.
$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
-
B.
$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
-
C.
$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
-
D.
$\left| z \right| = \sqrt 2 $
Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0\). Tổng \(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}\) bằng:
-
A.
\(5\sqrt 2 \)
-
B.
$5$
-
C.
\(\sqrt 2 \)
-
D.
\(3\sqrt 2 \)
Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(0\)
Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau \({z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i\). Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
-
A.
\(m = - 3\)
-
B.
\(m = 1\)
-
C.
\(m = - 1\)
-
D.
\(m = 3\)
Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$8$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( 1;2;3 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt các tia \(Ox;\,\,Oy;\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A;\,\,B;\,\,C\) \(\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)\) sao cho thể tích của tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
A.
\(\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1.\)
-
B.
\(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.\)
-
C.
\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1.\)
-
D.
\(\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{ }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên \(\left( P \right)\) là:
-
A.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
B.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 - 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
C.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 5 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
D.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua hai điểm \(A(1;1;2),B(0; - 1;1)\) và song song với đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}$ là:
-
A.
$(P):5x - y - 3z + 2 = 0$
-
B.
$(P):3x + y - 5z + 6 = 0$
-
C.
$(P):3x + 3y + z - 8 = 0$
-
D.
$(P):x - y + 2z - 4 = 0$
Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$. Hãy viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm \(I(2\,;\,0;1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d: \dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).
-
A.
\({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2.\)
-
B.
\({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9.\)
-
C.
\({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4.\)
-
D.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là:
-
A.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
-
D.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
-
A.
\(m=-4.\)
-
B.
\(m=0.\)
-
C.
\(m=4.\)
-
D.
\(m=7.\)
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó
-
A.
\(r = \sqrt 2 \)
-
B.
$r = 2$
-
C.
$r = 4$
-
D.
\(r = 2\sqrt 2 \)
Cho hàm số $f(x)$ liên tục, \(f(x)>-1,\,f(0)=0\) và thỏa mãn \(f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}\). Tính \(f\left( \sqrt{3} \right)\).
-
A.
$0$
-
B.
$3$
-
C.
$7$
-
D.
$9$
Lời giải và đáp án
Tích phân \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}\) bằng:
-
A.
\({{e}^{-2}}\)
-
B.
\({{e}^{3}}-e\)
-
C.
\(e-{{e}^{3}}\)
-
D.
\({{e}^{2}}\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính tích phân của hàm cơ bản.
Ta có: \(\int\limits_{1}^{3}{{{e}^{x}}dx}=\left. {{e}^{x}} \right|_{1}^{3}={{e}^{3}}-e.\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm
$A\left( {1;2; - 1} \right),{\rm{ }}B\left( {2;1;1} \right),{\rm{ }}C\left( {0;1;2} \right)$. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là trực tâm của tam giác \(ABC\). Giá trị của $a + b + c$ bằng:
-
A.
$4$
-
B.
$5$
-
C.
$7$
-
D.
$6$
Đáp án : A
Điều kiện để \(H\) là trực tâm của tam giác là $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right.$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 2;c + 1} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {a - 2;b - 1;c - 1} \right)\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;0;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 5; - 2} \right)$.
Do $H$ là trực tâm của tam giác \(ABC\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0\\\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AH} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 2} \right) - 1\left( {b - 1} \right) + 3\left( {c - 1} \right) = 0\\ - 1\left( {a - 1} \right) - 5\left( {b - 2} \right) - 2\left( {c + 1} \right) = 0\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + c = - 3\\ - a - b + 3c = 0\\ - a - 5b - 2c = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right.$.
Do đó $a + b + c = 4$.
Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:
-
A.
$z$ là số thuần ảo
-
B.
Môđun của $z$ bằng $1$
-
C.
$z$ là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0
-
D.
Phần thực của $z$ là số âm
Đáp án : C
Đặt $z = a + bi$ , tính $\left| z \right|$ sau đó thay vào phương trình $\left| z \right| + z = 0$. Từ đó tìm được $a$ và $b$
Đặt $z = a + bi \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Ta có: $\left| z \right| + z = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}} + a + bi = 0 + 0i$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\sqrt {{a^2} + {b^2}} + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\\left| a \right| + a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a \le 0\end{array} \right.$
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị bằng \(2\)?
-
A.
\(\int\limits_1^2 {{e^x}dx} \).
-
B.
\(\int\limits_0^1 {2dx} \).
-
C.
\(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} \).
-
D.
\(\int\limits_0^1 {xdx} \).
Đáp án : B
Tính tích phân từng đáp án và dùng phương pháp loại trừ, sử dụng công thức nguyên hàm hàm số cơ bản:
\(\int {dx = x + C} \), \(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \), \(\int {{x^\alpha }dx = \dfrac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C} \) và công thức tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\)
+) $\int\limits_1^2 {{e^x}dx} = \left. {{e^x}} \right|_1^2 = {e^2} - e$
+) \(\int\limits_0^1 {2dx} = \left. {2x} \right|_0^1 = 2\),
+) \(\int\limits_0^1 {xdx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}\)
+) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx} = \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1\)
Vậy chỉ có đáp án B là có tích phân bằng \(2\).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{3},{d_2}:\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\) là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{\sqrt 3 }}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{7\sqrt 3 }}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{\sqrt {21} }}\)
Đáp án : A
- Tìm hai điểm đi qua của hai đường thẳng.
- Tìm các VTCP của hai đường thẳng.
- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}\)
Đường thẳng \({d_1}\) đi qua điểm \({M_1}\left( {0;1;0} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) đi qua điểm \({M_2}\left( { - 1;0; - 1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;3; - 2} \right)\).
Khi đó \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}&\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}3\\ - 2\end{array}&\begin{array}{l}2\\1\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\1\end{array}&\begin{array}{l} - 1\\3\end{array}\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 7;7;7} \right)\)
Vậy \(d\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left( { - 7} \right).\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right) + 7.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {7^2} + {7^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)
Cho số phức $z = 1 + \sqrt {3}i $. Khi đó
-
A.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
-
B.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}i$
-
C.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
-
D.
$\dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$.
Đáp án : D
Cho số phức $ z = a + bi\Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{a + bi}} = \dfrac{{a - bi}}{{(a - bi)(a + bi)}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} - {{(bi)}^2}}} = \dfrac{{a - bi}}{{{a^2} + {b^2}}}$
Ta có: $z = 1 + \sqrt 3 i \Rightarrow \dfrac{1}{z} = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 i}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{(1 - \sqrt 3 i)(1 + \sqrt 3 i)}} $
$= \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{{{1^2} - {{(\sqrt 3 i)}^2}}} = \dfrac{{1 - \sqrt 3 i}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}i$
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=3\cos x+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}\) trên \(\left( 0;\,+\infty \right)\).
-
A.
\(-3\sin x+\dfrac{1}{x}+C\).
-
B.
\(3\sin x-\dfrac{1}{x}+C\).
-
C.
\(3\cos x+\dfrac{1}{x}+C\).
-
D.
\(3\cos x+\ln x+C\).
Đáp án : B
Ta có \(\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int {\left( {3\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right){\text{d}}x} = 3\sin x - \dfrac{1}{x} + C\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {0;0;1} \right)\), \(B\left( {0; - 1;0} \right)\) và \(C\left( {2;1; - 2} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác. Phương trình đường thẳng \(AG\) là:
-
A.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
-
B.
\(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{z}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - \dfrac{2}{3}}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + \dfrac{1}{3}}}{{ - 2}}\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Đáp án : D
Đường thẳng \(AG\) cũng là đường thẳng \(AM\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Đường thẳng \(AG\) cũng là đường thẳng \(AM\) với \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có: \(M\left( {1;0; - 1} \right)\) là trung điểm của \(BC\) nên đường thẳng \(AG\) đi qua \(A\left( {0;0;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {AM} = \left( {1;0; - 2} \right)\) làm VTCP.
Do đó \(AG:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Viết phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;0; - 2} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right),\left( R \right)$ cho trước với $\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0$ và $\left( {{\rm{ }}R} \right):2x - 3y + z + 1 = 0$ .
-
A.
$2x + 4y + z = 0$
-
B.
$x + 2y - z - 3 = 0$
-
C.
$x + y + z + 1 = 0$
-
D.
$x + y + z - 1 = 0$
Đáp án : C
Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right)$ và $\left( R \right)$ nên nhận \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {{n_R}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\) là vectơ pháp tuyến.
Có \(\overrightarrow {{n_Q}} = (1,2, - 3)\) và \(\overrightarrow {{n_R}} = (2, - 3,1)\). Suy ra \(\vec n = ( - 7, - 7, - 7)\). Chọn \(\vec n' = (1,1,1)\) làm vectơ pháp tuyến.
Ta có phương trình $\left( P \right)$ là
\((x - 1) + (y - 0) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow x + y + z + 1 = 0\)
Tìm điểm $M$ biểu diễn số phức \(z = i - 2\)
-
A.
\(M(1; - 2)\)
-
B.
\(M(2; - 1)\)
-
C.
\(M( - 2;1)\)
-
D.
\(M(2;1)\)
Đáp án : C
Điểm biều diễn của số phức $z = a + bi$ là $M\left( {a;b} \right)$
$z = i - 2 = - 2 + i$ nên điểm biểu diễn là $M\left( { - 2;1} \right)$
Với cách đổi biến \(u=\sqrt{1+3\ln x}\) thì tích phân \(\int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx\) trở thành:
-
A.
\(\frac{2}{3}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
-
B.
\(\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
-
C.
\(2\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du}\)
-
D.
\(\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{u}du}\)
Đáp án : B
+) Đổi cận từ x sang u.
+) Áp dụng các công thức tính đạo hàm cơ bản và đạo hàm của hàm hợp để tính \(du\) và thế vào biểu thức \(f\left( x \right)\) lấy tích phân.
Đổi cận: \(\left\{ \begin{align} & x=1\Rightarrow u=1 \\ & x=e\Rightarrow u=2 \\ \end{align} \right..\)
Ta có: \(u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow {{u}^{2}}=1+3\ln x\Rightarrow \ln x=\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\)
\(\begin{align} & u=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow du=\left( \sqrt{1+3\ln x} \right)'dx=\frac{\left( 1+3\ln x \right)'}{2\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{3}{2x\sqrt{1+3\ln x}}dx. \\ & \Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{1+3\ln x}}dx=\frac{2}{3}du \\ \end{align}\) \(\Rightarrow \int\limits_{1}^{e}{\frac{\ln x}{x\sqrt{1+3\ln x}}}dx=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{u}^{2}}-1}{3}.\frac{2}{3}du=\frac{2}{9}\int\limits_{1}^{2}{\left( {{u}^{2}}-1 \right)du.}}\)
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
-
A.
\(\int{{{e}^{x}}\,\text{d}x}={{e}^{x}}+C.\)
-
B.
\(\int{0\,\text{d}x}=C.\)
-
C.
\(\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln x+C.\)
-
D.
\(\int{\text{dx}}=x+C.\)
Đáp án : C
Ta có \(\int{\dfrac{1}{x}\,\text{d}x}=\ln \left| x \right|+C\ne \ln x+C.\)
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):$ \(2x-y+3z-2=0\). Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là
-
A.
\(\overrightarrow{n}=(1;-1;3)\).
-
B.
\(\overrightarrow{n}=(2;-1;3)\).
-
C.
\(\overrightarrow{n}=(2;1;3)\).
-
D.
\(\overrightarrow{n}=(2;3;-2)\).
Đáp án : B
Mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax+By+Cz+D=0\,\,\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}>0 \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( A;B;C \right)\)
Mặt phẳng (P) : \(2x-y+3z-2=0\) có một vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=(2;-1;3)\).
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = 1\) và điểm \(A\) trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của \(z\). Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $w = \dfrac{1}{{iz}}$ là một trong bốn điểm \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q\). Khi đó điểm biểu diễn của số phức $w$ là
-
A.
Điểm \(M\).
-
B.
Điểm \(N\).
-
C.
Điểm \(P\).
-
D.
Điểm \(Q\).
Đáp án : C
- Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).\)
- Tìm \(w\) và đối chiếu các đáp án.
Gọi \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x;{\rm{ }}y \in \mathbb{R}} \right).\) Từ giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\x > 0;{\rm{ }}y > 0\end{array} \right..\)
Ta có $w = \dfrac{1}{{iz}} = - \dfrac{i}{z} = - \dfrac{i}{{x + yi}} = - \dfrac{{i\left( {x - yi} \right)}}{{\left( {x + yi} \right)\left( {x - yi} \right)}} = - \dfrac{{y + xi}}{{{x^2} + {y^2}}} = - \,y - xi.$
Vì $x > 0,{\rm{ }}y > 0$ nên điểm biểu diễn số phức $w$ có tọa độ là $\left( { - \,y; - \,x} \right)$ (đều có hoành độ và tung độ âm). Đồng thời $\left| w \right| = \sqrt {{{\left( { - y} \right)}^2} + {{\left( { - x} \right)}^2}} = 1 = \left| z \right|.$ Suy ra điểm biểu diễn của số phức $w$ nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ \(O\) một khoảng bằng \(OA.\) Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm \(P\) thỏa mãn.
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x+y+z-5=0\) và \(\left( Q \right):x+2y+z-4=0.\) Khi đó, giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) có phương trình là
-
A.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..\)
-
B.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=1-2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
-
C.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=3t \\ & y=-\,1+t \\ & z=6+t \\ \end{align} \right..\)
-
D.
\(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
Đáp án : D
Ứng dụng tích có hướng để tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm của hai mặt phẳng
Ta có : \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 3;\ 1;\ 1 \right),\ \ \overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1;\ 2;\ 1 \right).\)
Gọi \(d\) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right).\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \\ & {{{\vec{u}}}_{d}}\bot {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \,\,{{\vec{u}}_{d}}=\left[ {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}};{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right]=\)\(\left( -\,1;-\,2;5 \right)\)
Xét hệ \(\left\{ \begin{align} & 3x+y+z-5=0 \\ & x+2y+z-4=0 \\ \end{align} \right.,\)
Chọn \(x = 0 \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y + z = 5\\
2y + z = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
y = - \,1\\
z = 6
\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1;6} \right) \in d.\)
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(d:\left\{ \begin{align} & x=t \\ & y=-\,1+2t \\ & z=6-5t \\ \end{align} \right..\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu tâm $I\left( {6,3, - 4} \right)$ tiếp xúc với $Ox$ có bán kính $R$ bằng:
-
A.
$R = 6$
-
B.
$R = 5$
-
C.
$R = 4$
-
D.
$R = 3$
Đáp án : B
Mặt cầu tiếp xúc \(Ox\) nếu \(d\left( {I,Ox} \right) = R\).
Bán kính $R = d\left[ {I,Ox} \right] = \sqrt {y_I^2 + z_I^2} = 5$.
Cho \({z_1},{z_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({z^2} + 2iz + i = 0\). Chọn mệnh đề đúng:
-
A.
\({z_1} + {z_2} = 2i\)
-
B.
\({z_1}{z_2} = - 2i\)
-
C.
\({z_1}{z_2} = 2i\)
-
D.
\({z_1} + {z_2} = - 2i\)
Đáp án : D
Sử dụng định lý Vi-et cho phương trình bậc hai: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A} = \dfrac{{ - 2i}}{1} = - 2i\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A} = \dfrac{i}{1} = i\end{array} \right.\)
Vậy \({z_1} + {z_2} = - 2i\).
Gọi $M$ và $N$ lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức ${z_1};{z_2}$ khác $0$. Khi đó khẳng định nào sau đây sai ?
-
A.
$\left| {{z_2}} \right| = ON$
-
B.
$\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$
-
C.
$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN$
-
D.
$\left| {{z_1}} \right| = OM$
Đáp án : C
Dựa vào đồ thị đề bài cho để tìm ra phương án sai.
Ta có: $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = MN$ là khẳng định sai vì dựa vào đồ thị ta có: $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = MN$
Trong không gian $Oxyz$, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng $(P): 2x – y + z – 2 = 0$?
-
A.
\(Q\left( 1;-2;2 \right)\)
-
B.
\(N\left( 1;-1;-1 \right)\)
-
C.
\(P\left( 2;-1;-1 \right)\)
-
D.
\(M\left( 1;1;-1 \right)\)
Đáp án : B
Thay tọa độ các điểm ở từng đáp án vào phương trình mặt phẳng (P) và rút ra kết luận. Điểm thuộc mặt phẳng (P) phải là điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P).
Thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình mặt phẳng \((P)\) ta có \(2.1 – (–1) – 1 – 2 = 0\), vậy điểm \(N\) thuộc mặt phẳng \((P)\).
Chọn kết luận đúng:
-
A.
Số phức \( - 3\) chỉ có một căn bậc hai là \( - \sqrt 3 \).
-
B.
Số phức \( - 3\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt 3 \).
-
C.
Số phức \( - 3\) chỉ có một căn bậc hai là \(3i\).
-
D.
Số phức \( - 3\) có hai căn bậc hai là \( \pm 3i\).
Đáp án : B
Số phức \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là căn bậc hai của số phức \(z = a + bi\) nếu \({w^2} = z\).
Số phức \( - 3\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt 3 \) vì \({\left( { \pm i\sqrt 3 } \right)^2} = - 3\).
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \((S):{{(x-1)}^{2}}+{{(y-2)}^{2}}+{{(z+1)}^{2}}=6,\) tiếp xúc với hai mặt phẳng \((P):x+y+2z\,+\,5=0,\,\,(Q):2x-y+z\,-\,5=0\) lần lượt tại các tiếp điểm \(A,\,\,B.\) Độ dài đoạn thẳng \(AB\) là
-
A.
\(2\sqrt{3}.\)
-
B.
\(\sqrt{3}.\)
-
C.
\(2\sqrt{6}.\)
-
D.
\(3\sqrt{2}.\)
Đáp án : D
Đưa về bài toán đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng cắt nhau, sử dụng bài toán hình phẳng lớp 9 để tìm AB thông qua dữ kiện góc
Xét \(\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=6\) có tâm \(I\left( 1;2;-\,1 \right),\) bán kính \(R=\sqrt{6}.\)
Gọi \(M\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) sao cho \(MAIB\) đồng phẳng.
Ta có \(\cos \widehat{AMB}=\cos \widehat{\left( P \right);\left( Q \right)}=\frac{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}}.{{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}{\left| {{{\vec{n}}}_{\left( P \right)}} \right|.\left| {{{\vec{n}}}_{\left( Q \right)}} \right|}=\frac{1}{2}\Rightarrow \,\,\widehat{AMB}={{60}^{0}}\Rightarrow \,\,\widehat{AIB}={{120}^{0}}.\)
Tam giác \(IAB\) cân tại \(I,\) có \(AB=\sqrt{I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-2.IA.IB.\cos \widehat{AIB}}=3\sqrt{2}.\)
Đổi biến $u = \ln x$ thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} \) thành:
-
A.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)du} \)
-
B.
\(I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
-
C.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
-
D.
\(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right){e^{2u}}du} \)
Đáp án : B
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt u = lnx \( \Rightarrow du = \dfrac{{dx}}{x}\) và \(x = {e^u}\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow u = 0\\x = e \Rightarrow u = 1\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{1 - u}}{{{e^u}}}du} = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}du} \)
Giả sử \(A,B\) là các hằng số của hàm số \(f\left( x \right) = A\sin \pi x + B{x^2}\). Biết \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4\), giá trị của \(B\) là:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
D.
Kết quả khác
Đáp án : C
Sử dụng bảng nguyên hàm các hàm sơ cấp để tính tích phân hàm \(f\left( x \right)\) từ \(0\) đến \(2\).
Ta có: $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {\left( {A\sin \pi x + B{x^2}} \right)dx} = 4 $
$\Leftrightarrow \left. {\left( { - \dfrac{A}{\pi }\cos \pi x + \dfrac{B}{3}{x^3}} \right)} \right|_0^2 = 4 \Leftrightarrow \dfrac{B}{3}{.2^3} = 4 \Leftrightarrow B = \dfrac{3}{2}$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;0;2} \right)\) và đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A,\) vuông góc và cắt \(d\).
-
A.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
-
B.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}$.
-
C.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
-
D.
$\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{{ - 3}} = \dfrac{{z - 2}}{1}$.
Đáp án : B
- Gọi tọa độ giao điểm \(B\) của \(\Delta \) với \({d_2}\).
- \(\Delta \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0\).
Gọi \(B = \Delta \cap d\), suy ra \(B \in d\) nên $B\left( {1 + t;t; - 1 + 2t} \right)$.
Khi đó \(\Delta \) có VTCP là $\overrightarrow {AB} = \left( {t;t;2t - 3} \right)$. Đường thẳng \(d\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1;2} \right)\).
Theo đề bài: \(\Delta \bot d \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = t + t + 4t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow B\left( {2;1;1} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta \) cần tìm đi qua hai điểm \(A,{\rm{ }}B\) nên \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\).
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt phẳng $(\alpha ):4x + 3y - 7z + 3 = 0$ và điểm $I(0;1;1)$. Phương trình mặt phẳng $(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ qua $I$ là:
-
A.
$(\beta ):4x + 3y - 7z - 3 = 0$
-
B.
$(\beta ):4x + 3y - 7z + 11 = 0$
-
C.
$(\beta ):4x + 3y - 7z - 11 = 0$
-
D.
$(\beta ):4x + 3y - 7z + 5 = 0$
Đáp án : D
$(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$ suy ra $(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} $
$(\beta )$ đối xứng với $(\alpha )$qua I, suy ra I là trung điểm của AA’ với \(A \in \left( \alpha \right);A' \in \left( \beta \right)\)
$(\beta )//(\alpha ) \Rightarrow \overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = (4;3; - 7)$
Lấy $A(0; - 1;0) \in \left( \alpha \right)$. Gọi $A' \in \left( \beta \right)$ là điểm đối xứng của $A$ qua $I$.
\( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AA'\).
$\begin{array}{l} \Rightarrow A'(0;3;2)\\ \Rightarrow 4(x - 0) + 3(y - 3) - 7(z - 2) = 0\\ \Rightarrow 4x + 3y - 7z + 5 = 0\end{array}$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( 1;0;-\,2 \right),\) bán kính \(R=4\,\,?\)
-
A.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16.\)
-
B.
\({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=4.\)
-
C.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.\)
-
D.
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=4.\)
Đáp án : C
Mặt cầu tâm \(I\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right),\) bán kính \(R\) có phương trình là \({{\left( x-{{x}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}+{{\left( z-{{z}_{0}} \right)}^{2}}={{R}^{2}}\)
Phương trình mặt cầu cần tìm là \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=16.\)
Cho số phức $z = 2 + 3i$. Tìm số phức \(w = \left( {3 + 2i} \right)z + 2\overline z \)
-
A.
$w = 16 + 7i$
-
B.
$w = 4 + 7i$
-
C.
$w = 7 + 5i$
-
D.
$w = 7 + 4i$
Đáp án : B
+ Sử dụng các quy tắc nhân chia số phức thông thường
+\(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\)
${\rm{w}} = (3 + 2i)z + 2\overline z = (3 + 2i)(2 + 3i) + 2.(2 - 3i) $
$= 6 - 6 + 4i + 9i + 4 - 6i = 4 + 7i$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) tam giác \(ABC\) có \(A\left( -\,1;-\,2;4 \right),\,\,B\left( -\,4;-\,2;0 \right)\) và \(C\left( 3;-\,2;1 \right).\) Tính số đo của góc \(B.\)
-
A.
\({{45}^{0}}.\)
-
B.
\({{120}^{0}}.\)
-
C.
\({{90}^{0}}.\)
-
D.
\({{60}^{0}}.\)
Đáp án : A
Tính độ dài các cạnh của tam giác và nhận xét sự đặc biệt của tam giác đó.
Ta có \(AB=5,\,\,AC=5\) và \(BC=5\sqrt{2}\)\(\Rightarrow \,\,A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\)
Suy ra tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{ABC}={{45}^{0}}.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 4y - 2z = 0\). Điểm nào sau đây thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\)?
-
A.
\(M\left( {0;1; - 1} \right)\).
-
B.
\(N\left( {0;3;2} \right)\).
-
C.
\(P\left( { - 1;6; - 1} \right)\).
-
D.
\(Q\left( {1;2;0} \right)\).
Đáp án : A
Điểm \(A\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) nếu \(IA = R\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {3;2;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {14} \).
Xét điểm \(M\left( {0;1; - 1} \right)\), ta có \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 3; - 1; - 2} \right)\). Suy ra \(IM = \sqrt {9 + 1 + 4} = \sqrt {14} = R\).
Do đó điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\).
Tính tổng \(T\) của phần thực và phần ảo của số phức \(z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2}.\)
-
A.
\(T = 11\).
-
B.
\(T = 11 + 6\sqrt 2 \).
-
C.
\(T = - 7 + 6\sqrt 2 \).
-
D.
\(T = - 7\).
Đáp án : C
Biến đổi \(z\) về dạng \(z = a + bi\) suy ra phần thực và phần ảo.
Ta có \(z = {\left( {\sqrt 2 + 3i} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .3i + {\left( {3i} \right)^2} = 2 + 6\sqrt 2 i - 9 = - 7 + 6\sqrt 2 i.\)
Suy ra \(T = - 7 + 6\sqrt 2 .\)
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x-3\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right)=4,\) giá trị của \(F\left( 1 \right)\) bằng
-
A.
\(\frac{7}{3}.\)
-
B.
\(\frac{5}{3}.\)
-
C.
\(\frac{3}{2}.\)
-
D.
\(\frac{7}{2}.\)
Đáp án : A
Ta có \(F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\,dx}=\int{\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)\,dx}=\frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x+C.\)
Mà \(F\left( 0 \right)=4\)
\(\Rightarrow \)\({{\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x+C \right) \right|}_{x\,\,=\,\,0}}=4\Rightarrow C=4.\)
Vậy \(F\left( 1 \right)={{\left. \left( \frac{{{x}^{3}}}{3}+{{x}^{2}}-3x+4 \right) \right|}_{x\,\,=\,\,1}}=\frac{7}{3}.\)
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\left( {1 - \cos x} \right)}^n}\sin xdx} \) bằng:
-
A.
\(I = \dfrac{1}{{n + 1}}\)
-
B.
\(I = \dfrac{1}{{n - 1}}\)
-
C.
\(I = \dfrac{1}{{2n}}\)
-
D.
\(I = - \dfrac{n}{{n + 1}}\)
Đáp án : A
- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .
- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).
- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).
- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).
Đặt \(t = 1 - \cos x \Rightarrow dt = \sin xdx\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)
Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {{t^n}dt} = \left. {\dfrac{{{t^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{{n + 1}}\)
Cho $F\left( x \right) = {x^2}$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}}$ và $f\left( x \right)$ là hàm số thỏa mãn điều kiện $f\left( 0 \right) = - \,1,\,\,f\left( 1 \right) = 0.$ Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} .$
-
A.
$I = 0.$
-
B.
$I = - \,1.$
-
C.
$I = 1.$
-
D.
$I = 2.$
Đáp án : B
- $F(x)$ được gọi là 1 nguyên hàm của hàm số $f(x)$ khi và chỉ khi \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right)\) và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b.\)
- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).
- Trong các tích phân đã xuất hiện dạng vi phân \(f'\left( x \right)dx\) thì ta đặt \(dv = f'\left( x \right)dx\).
- Đồng nhất thức.
Vì ${x^2}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right){e^{2x}} \Rightarrow \int {f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} = {x^2}.$
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{2x}}\\{\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = 2{e^{2x}}{\rm{d}}x\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.,$ khi đó $\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right){e^{2x}}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right){e^{2x}}\,{\rm{d}}x} .$
Suy ra $I = {e^2}f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) - 2\left. {{x^2}} \right|_0^1 = - \,\left( { - \,1} \right) - 2 = - \,1.$
Vậy $I = - \,1.$
Trong Công viên Toán học có những mảnh đất hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất trong toán học. Ở đó có mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ $Oxy$ là \(16{y^2} = {x^2}\left( {25 - {x^2}} \right)\) như hình vẽ bên. Tính diện tích $S$ của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ $Oxy$ tương ứng với chiều dài $1$ mét
-
A.
\(S = \dfrac{{125}}{6}({m^2})\)
-
B.
\(S = \dfrac{{125}}{4}\left( {{m^2}} \right)\)
-
C.
\(S = \dfrac{{250}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
-
D.
\(S = \dfrac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\)
Đáp án : D
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, trục hoành và 2 đường thẳng $x = a$ và $x = b$ là:
${\rm{S}} = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|} d{\rm{x}}$
Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là $x = 0;x = 5;x = - 5$
Ta thấy diện tích mảnh đất Bernoulli bao gồm diện tích $4$ mảnh đất nhỏ bằng nhau.
Xét diện tích $S$ mảnh đất nhỏ trong góc phần tư thứ nhất ta có
$\begin{array}{l}4y = x\sqrt {25 - {x^2}} ;x \in \left[ {0;5} \right] \\ \Rightarrow S = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^5 {x\sqrt {25 - {x^2}} } d{\rm{x}} = \dfrac{{125}}{{12}}\\ \Rightarrow S = 4.\dfrac{{125}}{{12}} = \dfrac{{125}}{3}\left( {{m^2}} \right)\end{array}$
Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có hình parabol. Gắn parabol vào hệ trục \(Oxy\) thì nó có đỉnh \(\left( {0;8} \right)\) và cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt, trong đó có 1 điểm là \(\left( { - 4;0} \right)\). Người ta dự định lắp vào cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào.
-
A.
\(\dfrac{{128}}{3}{m^2}\)
-
B.
\(\dfrac{{131}}{3}{m^2}\)
-
C.
\(\dfrac{{28}}{3}{m^2}\)
-
D.
\(\dfrac{{26}}{3}m\)
Đáp án : A
- Tìm phương trình parabol.
- Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
+ Gọi phương trình parabol là: $y=a{x^2} + {\rm{ }}bx + c $
Nhận thấy với $x = 0$ thì $y = 8$ suy ra $c = 8$.
Mặt khác \(\left( {0;8} \right)\) là đỉnh nên \( - \dfrac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0\)
Điểm $(-4;0)$ thuộc đồ thị hàm số nên phương trình $y=0$ có nghiệm \(x = - 4 \Rightarrow a = - \dfrac{1}{2}\).
Vậy phương trình parabol: \(y = - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8\)
Bài toán quy về tính diện tích được tạo bởi parabol với trục \(Ox\).
Ta có:
\(S = \int\limits_{ - 4}^4 {\left| { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8} \right|dx} = 2\int\limits_0^4 {\left( { - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 8} \right)dx} = 2.\left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{6} + 8x} \right)} \right|_0^4 = \dfrac{{128}}{3}{m^2}\)
Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị $y = - \,\sqrt {4 - {x^2}} ,\,\,{x^2} + 3y = 0$ quay quanh trục $Ox$ là $V = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b},$ với $a,\,\,b > 0$ và $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng $T = a + b.$
-
A.
$T = 33.$
-
B.
$T = 31.$
-
C.
$T = 29.$
-
D.
$T = 27.$
Đáp án : A
Giải phương trình hoành độ giao điểm tìm các đường giới hạn.
Thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),x = a,x = b\) quanh trục $Ox$ là: $V = \pi .\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} .$
\({x^2} + 3y = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{{{x^2}}}{3}\)
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình
$ - \,\sqrt {4 - {x^2}} = - \dfrac{{{x^2}}}{3} \Leftrightarrow 3\sqrt {4 - {x^2}} = {x^2} \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l}0 \le {x^2} \le 4\\{x^4} + 9{x^2} - 36 = 0\end{array} \right. $
$\Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \,\sqrt 3 .$
Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là $V = \pi \int\limits_{ - \,\sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {{{\left( { - \,\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2} - {{\left( { - \,\dfrac{{{x^2}}}{3}} \right)}^2}} \right|\,{\rm{d}}x.} $
$ = \pi \int\limits_{ - \,\sqrt 3 }^{\sqrt 3 } {\left| {\left( {4 - {x^2}} \right) - \dfrac{{{x^4}}}{9}} \right|{\rm{d}}x} = \left| {\pi \left. {\left( {4x - \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^5}}}{{45}}} \right)} \right|_{ - \sqrt 3 }^{\sqrt 3 }} \right| $
$= 2\pi \left( {4\sqrt 3 - \sqrt 3 - \dfrac{{\sqrt 3 }}{5}} \right) = \dfrac{{28\pi \sqrt 3 }}{5}$
Vậy $V = \dfrac{{28\pi \sqrt 3 }}{5} = \dfrac{{a\pi \sqrt 3 }}{b} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 28\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 28 + 5 = 33.$
Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và $Ox$. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$ quanh $Ox$ bằng :
-
A.
\(\dfrac{{81\pi }}{{35}}\)
-
B.
\(\dfrac{{53\pi }}{6}\)
-
C.
\(\dfrac{{81}}{{35}}\)
-
D.
\(\dfrac{{21\pi }}{5}\)
Đáp án : A
- Tìm các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục \(Ox\).
- Tính thể tích theo công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)
Ta có \(\dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\)
$V=\pi {{\int\limits_{0}^{3}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)}}^{2}}d\text{x }=\pi \int\limits_{0}^{3}{\left( \dfrac{1}{9}{{x}^{6}}-\dfrac{2}{3}{{x}^{5}}+{{x}^{4}} \right)}dx$
$=\left. \pi \left( \dfrac{1}{63}{{x}^{7}}-\dfrac{1}{9}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{5}{{x}^{5}} \right) \right|_{0}^{3}=\dfrac{81}{35}\pi $
Tính môđun của số phức $z$ biết $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right)$.
-
A.
$\left| z \right| = 25\sqrt 2 $
-
B.
$\left| z \right| = 7\sqrt 2 $
-
C.
$\left| z \right| = 5\sqrt 2 $
-
D.
$\left| z \right| = \sqrt 2 $
Đáp án : C
Áp dụng công thức $z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi;\left| z \right| = \left| {\overline z } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} $
Ta có: $\overline z = \left( {4 - 3i} \right)\left( {1 + i} \right) = 7 + i \Rightarrow z = 7 - i \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {50} = 5\sqrt 2 $
Gọi \({z_1};{z_2};{z_3};{z_4}\) là bốn nghiệm phức của phương trình \(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0\). Tổng \(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2}\) bằng:
-
A.
\(5\sqrt 2 \)
-
B.
$5$
-
C.
\(\sqrt 2 \)
-
D.
\(3\sqrt 2 \)
Đáp án : B
Giải phương trình phức từ đó tính tổng.
\(2{z^4} - 3{z^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = 2\\{z^2} = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \pm \sqrt 2 \\z = \pm i\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)\(T = |{z_1}{|^2} + |{z_2}{|^2} + |{z_3}{|^2} + |{z_4}{|^2} = 2 + 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 5\)
Hỏi có bao nhiêu số phức thỏa mãn đồng thời các điều kiện $\left| {z - i} \right| = 5$ và \({z^2}\) là số thuần ảo?
-
A.
\(2\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(0\)
Đáp án : C
- Số phức \(z\) là số ảo nếu \(a = 0\)
Đặt \(z = a + bi\)
Ta có: $\left| {z - i} \right| = 5 \Leftrightarrow \left| {a + bi - i} \right| = 5 $ $\Leftrightarrow \left| {a + \left( {b - 1} \right)i} \right| = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = 5 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} = 25$ (1)
${z^2} = (a+bi)^2={a^2} + 2{\rm{a}}bi - {b^2}=a^2-b^2+2abi$
Do \({z^2}\) là số thuần ảo nên:${a^2} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
b = a\\
b = - a
\end{array} \right.$
TH1: b=a thay vào (1) ta được:
${a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 25 $ $\Leftrightarrow {a^2} + {a^2} - 2a + 1 = 25$ $ \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 4 \Rightarrow b = 4\\
a = - 3 \Rightarrow b = - 3
\end{array} \right.$
TH2: b=-a thay vào (1) ta được:
${a^2} + {\left( { - a - 1} \right)^2} = 25$ $ \Leftrightarrow {a^2} + {a^2} + 2a + 1 = 25 $ $\Leftrightarrow 2{a^2} + 2a - 24 = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3 \Rightarrow b = - 3\\
a = - 4 \Rightarrow b = 4
\end{array} \right.$
Vậy có $4$ số phức cần tìm là: $4+4i, -3-3i,$ $3-3i, -4+4i$.
Cho ba điểm $A,B,C$ lần lượt biểu diễn các số phức sau \({z_1} = 1 + i;\,{z_2} = {z_1}^2;\,{z_3} = m - i\). Tìm các giá trị thực của $m$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
-
A.
\(m = - 3\)
-
B.
\(m = 1\)
-
C.
\(m = - 1\)
-
D.
\(m = 3\)
Đáp án : A
Áp dụng công thức tích vô hướng $2$ véc tơ vuông góc với nhau thì bằng $0$
Ta có: ${z_2} = 2i$
Có $A\left( {1;1} \right);B\left( {0;2} \right)$ và $C\left( {m; - 1} \right)$
\(\overrightarrow {AB} = ( - 1;1);\overrightarrow {BC} = (m; - 3) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - 1.m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\)
Trong số các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện \(\left| {z - 4 + 3i} \right| = 3\), gọi ${z_0}$ là số phức có mô đun lớn nhất. Khi đó \(\left| {{z_0}} \right|\) là
-
A.
$3$
-
B.
$4$
-
C.
$5$
-
D.
$8$
Đáp án : D
- Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\)
- Bước 2: Thay \(z\) vào biểu thức đã cho tìm mối quan hệ của \(x,y\) suy ra tập hợp biểu diễn của số phức \(z\).
- Bước 3: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá biểu thức của \(x,y\).
Gọi $z = x + yi$;
Khi đó $z - 4 + 3i = \left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i$
$ \Rightarrow \left| {z - 4 + 3i} \right| = \left| {\left( {x - 4} \right) + \left( {y + 3} \right)i} \right| = 3 \Rightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9$
Vậy quỹ tích các điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) thuộc đường tròn tâm $I\left( {4; - 3} \right);R = 3$.
Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\sin t + 4\\y = 3\cos t - 3\end{array} \right.$
$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} = {\left( {3\sin t + 4} \right)^2} + {\left( {3\cos t - 3} \right)^2} $
$= 9{\sin ^2}t + 9{\cos ^2}t + 24\sin t - 18\cos t + 25 = 24\sin t - 18\cos t + 34$
Mà $24\sin t - 18\cos t \le \sqrt {\left( {{{24}^2} + {{18}^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)} = 30$ (theo bunhiacopxki)
$ \Rightarrow {x^2} + {y^2} \le 30 + 34 = 64 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} \le 8 \Rightarrow \left| z \right| \le 8$
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho điểm \(M\left( 1;2;3 \right).\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua M và cắt các tia \(Ox;\,\,Oy;\,\,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A;\,\,B;\,\,C\) \(\left( A;\,\,B;\,\,C\ne O \right)\) sao cho thể tích của tứ diện \(OABC\) nhỏ nhất. Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là
-
A.
\(\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{1}=1.\)
-
B.
\(\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.\)
-
C.
\(\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{18}=1.\)
-
D.
\(\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{2}+\dfrac{z}{3}=1.\)
Đáp án : B
+) Gọi \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\)
+) Vì mặt phẳng chắn trên các trục tọa độ nên sử dụng phương trình đoạn chắn và áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho việc xác định thể tích min. Từ đó lập được phương trình mặt phẳng.
Gọi \(A\left( a;0;0 \right),\,\,B\left( 0;b;0 \right),\,\,C\left( 0;0;c \right)\)\(\Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1.\)
Vì \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc \(\Rightarrow \) Thể tích khối chóp \(O.ABC\) là \(V=\dfrac{1}{6}OA.OB.OC=\dfrac{abc}{6}.\)
Điểm \(M\in \left( P \right)\) suy ra \(1=\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\ge 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}.\dfrac{3}{c}}\) \(\Leftrightarrow 1\ge {{3}^{3}}.\dfrac{6}{abc}\) \(\Rightarrow abc\ge 162\Rightarrow V\ge 27.\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}=\dfrac{3}{c}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & a=3 \\ & b=6 \\ & c=9 \\\end{align} \right..\) Vậy \(\left( P \right):\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{9}=1.\)
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t{\rm{ }}}\\{y = 8 + 4t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 7 = 0.$ Phương trình đường thẳng \(\Delta '\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên \(\left( P \right)\) là:
-
A.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
B.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 - 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
C.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 5 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
-
D.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t.{\rm{ }}}\end{array}} \right.\)
Đáp án : D
- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(\Delta \) và vuông góc với \(\left( P \right)\).
- Đường thẳng cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\).
Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(\Delta \) và vuông góc với \(\left( P \right)\), suy ra $\left( Q \right):2x + y - 3z + 1 = 0.$
Khi đó \(\Delta '\) cần tìm là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên thỏa mãn hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z - 7 = 0\\2x + y - 3z + 1 = 0\end{array} \right..$
Đặt \(z = t,\) ta có phương trình tham số của \(\Delta '\) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 8 + 4t}\\{y = 15 - 5t}\\{z = t{\rm{ }}}\end{array}} \right..\)
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng \((P)\) đi qua hai điểm \(A(1;1;2),B(0; - 1;1)\) và song song với đường thẳng $d:\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{2}$ là:
-
A.
$(P):5x - y - 3z + 2 = 0$
-
B.
$(P):3x + y - 5z + 6 = 0$
-
C.
$(P):3x + 3y + z - 8 = 0$
-
D.
$(P):x - y + 2z - 4 = 0$
Đáp án : A
- Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và song song với đường thẳng d nên ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} {\rm{;}}\overrightarrow {{u_d}} } \right]\)
- Phương trình mặt phẳng $(P)$ qua \(M({x_0};{y_0};{z_0})\) và có vecto $\overrightarrow n = (a;b;c)$ có dạng:
$a.(x - {x_0}) + b.(y - {y_0}) + c(z - {z_0}) = 0$
Ta có:$\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 2; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1; - 1;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = ( - 5;1;3)$
Vì \((P)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và song song với đường thẳng $d$ nên ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( { - 5;1;3} \right)\)
Ta có:
$\begin{array}{l}(P):\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} = ( - 5;1;3)\\A(1;1;2) \in (P)\end{array} \right. \Rightarrow - 5(x - 1) + (y - 1) + 3(z - 2) = 0\\ \Leftrightarrow - 5x + y + 3z - 2 = 0 \Leftrightarrow 5x - y - 3z + 2 = 0\end{array}$
Trong không gian với hệ tọa độ ${\rm{Ox}}yz$. Hãy viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm \(I(2\,;\,0;1)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d: \dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\).
-
A.
\({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 2.\)
-
B.
\({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 9.\)
-
C.
\({(x - 2)^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 4.\)
-
D.
\({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 1)^2} = 24.\)
Đáp án : A
+ \(R = d(I,d)\)
+ Phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I( a;b;c)$ bán kính $R$ là $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$
\(\overrightarrow {{u_d}} = (1;2;1)\) . Lấy điểm \( M( 1;0;2) \in d\) ;
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MI} = ( - 1;0;1) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow u } \right] = ( - 2;2; - 2)\\R = d(I,d) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{{(2)}^2} + {2^2} + {{( - 2)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \end{array}\)
Vậy phương trình mặt cầu tâm $I ( 2; 0; 1)$ bán kính \(\sqrt 2 \) là:
\({\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\) .
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{z}{2}\), mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0\) và điểm \(A\left( {1;2 - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) cắt \(d\) và song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là:
-
A.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)
-
D.
\(\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\)
Đáp án : C
- Gọi \(B = \Delta \cap d\)
- \(\Delta //\left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_\alpha }} = 0\)
Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Gọi \(B = \Delta \cap d\), suy ra \(B \in d \Rightarrow B\left( {3 + t;3 + 3t;2t} \right)\).
Suy ra đường thẳng \(\Delta \) có VTCP \(\overrightarrow {AB} = \left( {2 + t;1 + 3t;1 + 2t} \right)\).
Vì \(\Delta \parallel \left( \alpha \right)\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow n = 0 \Leftrightarrow 2 + t + 1 + 3t - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
Do đó phương trình \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y+4z-1=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-z-m=0.\) Tìm tất cả m để \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn nhất.
-
A.
\(m=-4.\)
-
B.
\(m=0.\)
-
C.
\(m=4.\)
-
D.
\(m=7.\)
Đáp án : C
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.
Mặt cầu (S) có tâm \(I\left( 1;1;-2 \right)\) và bán kính \(R=\sqrt{7}\).
Để mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì \(d\left( I;\left( P \right) \right)\) nhỏ nhất.
Ta có \(d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| 1+1-\left( -2 \right)-m \right|}{\sqrt{3}}=\frac{\left| 4-m \right|}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow d{{\left( I;\left( P \right) \right)}_{\min }}=0\Leftrightarrow m=4\)
Cho số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z - 2} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 - i} \right)z + i$ là một đường tròn. Tính bán kính $r$ của đường tròn đó
-
A.
\(r = \sqrt 2 \)
-
B.
$r = 2$
-
C.
$r = 4$
-
D.
\(r = 2\sqrt 2 \)
Đáp án : D
Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Bước 1: Gọi số phức \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M(x;y)\)
Bước 2: Thay \(z\) vào đề bài \( \Rightarrow \) Sinh ra một phương trình:
+) Đường thẳng: \(Ax + By + C = 0.\)
+) Đường tròn: \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0.\)
+) Parabol: \(y = a.{x^2} + bx + c\)
+) Elip: \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} = 1\)
Giả sử $w = a + bi$ . Ta có
\(\begin{array}{l}w = (1 - i)z + i \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)z + i\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + i + 2(1 - i)\\ \Leftrightarrow a + bi = (1 - i)(z - 2) + 2 - i\\ \Leftrightarrow (1 - i)(z - 2) = a - 2 + (b + 1)i\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{a - 2 + (b + 1)i}}{{1 - i}}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{{\left[ {a - 2 + (b + 1)i} \right](1 + i)}}{2}\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - 2 - b - 1 + (a - 2 + b + 1)i} \right]\\ \Leftrightarrow z - 2 = \dfrac{1}{2}\left[ {a - b - 3 + (a + b - 1)i} \right]\end{array}\)
Theo giả thiết $\left| {z - 2} \right| = 2$ nên ta có \(\begin{array}{l}\dfrac{1}{4}\left[ {{{(a - b - 3)}^2} + {{(a + b - 1)}^2}} \right] = 4 \Leftrightarrow {(a - b - 3)^2} + {(a + b - 1)^2} = 16 \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 10 - 8a + 4b = 16\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - 4a + 2b - 3 = 0 \Leftrightarrow {(a - 2)^2} + {(b + 1)^2} = 8\end{array}\)
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ biểu diễn số phức $w$ là một đường tròn có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \).
Cho hàm số $f(x)$ liên tục, \(f(x)>-1,\,f(0)=0\) và thỏa mãn \(f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}\). Tính \(f\left( \sqrt{3} \right)\).
-
A.
$0$
-
B.
$3$
-
C.
$7$
-
D.
$9$
Đáp án : B
Lấy nguyên hàm hai vế, tìm hàm số \(f(x)\).
\(f'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f(x)+1}\Leftrightarrow \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)+1}}=\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}\Rightarrow \int{\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)+1}}}dx=\int{\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}dx\Leftrightarrow \int{\frac{d\left( f(x)+1 \right)}{\sqrt{f(x)+1}}}=\int{\frac{d({{x}^{2}}+1)}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{f(x)+1}=2\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C\)
Mà \(f(0)=0\Rightarrow 2\sqrt{0+1}=2\sqrt{{{0}^{2}}+1}+C\Rightarrow C=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{f(x)+1}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow f(x)={{x}^{2}}\)
\(\Rightarrow f\left( \sqrt{3} \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}=3\)
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
