Đề thi giữa kì 2 Toán 12 - Đề số 2

Đề bài

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0\)  là phương trình của một mặt cầu.

  • A.

    \(m > 6\)

  • B.

    \(m \ge 6\)

  • C.

    \(m \le 6\)

  • D.

    \(m < 6\)

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

  • A.

    \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)

  • B.

    \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

  • C.

    \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)

  • D.

    \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

Câu 3 :

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành

  • A.

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • B.

    $I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • C.

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • D.

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 4 :

Chọn công thức đúng:

  • A.

    \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \)

  • B.

    \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b + \int\limits_a^b {vdu} \)

  • C.

    \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_b^a - \int\limits_a^b {vdu} \)

  • D.

    \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_b^a {vdu} \)

Câu 5 :

Tọa độ trọng tâm tam giác \(AOB\) với \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;1;0} \right)\) là:

  • A.

    \(\left( {1;1; - 1} \right)\)

  • B.

    \(\left( { - 1;1; - 1} \right)\)    

  • C.

    \(\left( {1;1; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

  • D.

    \(\left( {3;3; - 1} \right)\)

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(2;-3;-1)\)và \(\overrightarrow{b}=(-1;0;4)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\).

  • A.
     \(\overrightarrow{u}=(13;12;-24).\)              
  • B.
     \(\overrightarrow{u}=(3;-12;16).\)                
  • C.
     \(\overrightarrow{u}=(13;-12;24).\)              
  • D.
     \(\overrightarrow{u}=(13;-12;-24).\)
Câu 7 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx} $ và $u = {x^2};dv = \cos xdx$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A.

    $I = {x^2}\sin x|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {x\sin xdx} $

  • B.

    $I = {x^2}\sin x|_0^\pi  + 2\int\limits_0^\pi  {x\sin xdx} $

  • C.

    $I = {x^2}\sin x|_0^\pi  + 2\int\limits_0^\pi  {x\sin xdx} $

  • D.

    $I = {x^2}\sin x|_0^\pi  - 2\int\limits_0^\pi  {x\sin xdx} $

Câu 8 :

Cho \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\,\text{d}x}=2.\) Khi đó \(I=\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\) bằng

  • A.
    2
  • B.
    1
  • C.
    -1
  • D.
    4
Câu 9 :

Cho hai hàm số \(f,\,\,g\) liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

  • A.

    $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $

  • B.

    $\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $

  • C.

    $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $

  • D.

    $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $

Câu 10 :

Chọn công thức đúng:

  • A.

    \(\int {udv}  = uv + \int {vdu} \)

  • B.

    \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \)          

  • C.

    \(\int {udv}  = \int {uv}  - \int {vdu} \)

  • D.

    \(\int {udv}  = \int {uvdv}  - \int {vdu} \)

Câu 11 :

Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng

  • A.

     \(\frac{61}{9}\)

  • B.

     $4.$

  • C.

    $61.$

  • D.

     \(\frac{61}{3}\).

Câu 12 :

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) là:

  • A.

    \(\dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\)

  • B.

    \(\dfrac{{\left| {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}} \right|}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\)

  • C.

    \(\dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{{{\left( {\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} } \right)}^2}}}\)

  • D.

    \(\dfrac{{\left| {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}} \right|}}{{\left( {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \right).\left( {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \right)}}\)

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\left( \alpha  \right)\) cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tâm \(I\left( {1; - 3;3} \right)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\left( {2;0;1} \right)\) , bán kính $r = 2$ . Phương trình (S) là:

  • A.

    \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\)                                            

  • B.

    \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\)

  • C.

    \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 18\)                                                

  • D.

    \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)

Câu 14 :

Thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=2\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( 0\le x\le 2 \right)\) là một nửa đường tròn đường kính \(\sqrt{5}{{x}^{2}}\) bằng :

  • A.

     \(2\pi \)                                             

  • B.

     \(5\pi \)                                             

  • C.

     \(4\pi \)                                             

  • D.
     \(3\pi \)
Câu 15 :

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0\) và điểm \(M\left( {0;1;1} \right)\). Chọn kết luận đúng:

  • A.

    \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)

  • B.

    \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)

  • C.

    \(M \in \left( P \right)\)                                              

  • D.

    \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\) 

Câu 16 :

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\,\,\left( a<b \right)\) là:

  • A.
    \(S=\int\limits_{b}^{a}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\)               
  • B.
      \(S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\)                  
  • C.
            \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\)                  
  • D.
    \(S=\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx}\)
Câu 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A(1;2;3),\,\,B( - 3; - 4; - 5)\). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là 

  • A.
    \(\left( {1;1;1} \right)\).
  • B.
    \(\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).
  • C.

    \(\left( { - 2; - 2; - 2} \right)\).

  • D.
    \(\left( {4;6;8} \right)\).
Câu 18 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x-y+3z-1=0,\,\,\left( Q \right):\,\,y=0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ?

  • A.

     \(3x+y-2z-2=0\)                     

  • B.

     \(3x-2z=0\)    

  • C.

     \(3x-2z-1=0\)             

  • D.
     \(3x-y+2z-4=0\)
Câu 19 :

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

  • A.

    $y = \sin x + 1$         

  • B.

    \(y = \cos x\)   

  • C.

    \(y = \cot x\)

  • D.

    \(y =  - \cos x\)

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0\) . Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)

  • A.
    \(M\left( {2; - 1;1} \right)\)
  • B.
    \(N\left( {0;1; - 2} \right)\)
  • C.
    \(P\left( {1; - 2;0} \right)\)
  • D.
    \(Q\left( {1; - 3; - 4} \right)\)
Câu 21 :

Cho hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt} \). Giá trị nhỏ nhất của \(F\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)  là:

  • A.

    \( - 1\)

  • B.

    \(2\)

  • C.

    \( - \dfrac{{55}}{{32}}\)      

  • D.

    \( - 2\)

Câu 22 :

Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:

  • A.

    \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} + 1} \right)du} \)          

  • B.

    \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( { - {u^2} + 1} \right)du} \)        

  • C.

    \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} \)

  • D.

    \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} - 1} \right)du} \)

Câu 23 :

 Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;2;3 \right)\). Tìm tọa độ điểm \({{A}_{1}}\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\).

  • A.
     \({A_1}\left( {1;0;0} \right)\).
  • B.
     \({A_1}\left( {0;2;3} \right)\). 
  • C.
    \({{A}_{1}}\left( 1;0;3 \right)\).
  • D.
     \({{A}_{1}}\left( 1;2;0 \right)\).
Câu 24 :

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng  $\left( P \right):x + 2y + 2z + 11 = 0$  và  $\left( Q \right):x + 2y + 2z + 2 = 0$ . Tính khoảng cách giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

  • A.

    $9$      

  • B.

    $6$      

  • C.

    $5$      

  • D.

    $3$

Câu 25 :

Cho vật thể \(V\) được giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x =  - 2\), mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) cắt \(V\) theo thiết diện \(S\left( x \right) = 2{x^2}\). Thể tích của \(V\) được tính bởi:

  • A.

    \(V = \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} \)

  • B.

    \(V = \int\limits_0^{ - 2} {2{x^2}dx} \)         

  • C.

    \(V = \int\limits_{ - 2}^0 {2{x^2}dx} \)

  • D.

    \(V = \pi \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} \)

Câu 26 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20\).

  • A.

    $I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 5\sqrt 2 \)         

  • B.

    $I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \) 

  • C.

    $I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$          

  • D.

    $I\left( {1, - 2,4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \)

Câu 27 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):y-2z+1=0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) ?

  • A.
    \(\vec{n}=\left( 1;-\,2;1 \right).\) 
  • B.
    \(\vec{n}=\left( 1;-\,2;0 \right).\) 
  • C.
    \(\vec{n}=\left( 0;1;-\,2 \right).\) 
  • D.
    \(\vec{n}=\left( 0;2;4 \right).\) 
Câu 28 :

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây. Diện tích $S$ của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

  • A.

    \(S = \int_{ - 2}^2 {f(x)dx} \)

  • B.

    \(S = \int_1^{ - 2} {f(x)dx}  + \int_1^2 {f(x)dx}  \)

  • C.

    \(S = \int_{ - 2}^1 {f(x)dx}  + \int_1^2 {f(x)dx} \)

  • D.

    \(S = \int_{ - 2}^1 {f(x)dx}  - \int_1^2 {f(x)dx}   \)

Câu 29 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vector $\vec a = \left( {2;3; - 5} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b = \left( {0; - 3;4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c = \left( {1; - 2;3} \right)$. Tọa độ vector $\vec n = 3\vec a + 2\vec b - \vec c$ là:

  • A.

    $\vec n = \left( {5;1; - 10} \right)$

  • B.

    $\vec n = \left( {7;1; - 4} \right)$

  • C.

    $\vec n = \left( {5;5; - 10} \right)$

  • D.

    $\vec n = \left( {5; - 5; - 10} \right)$

Câu 30 :

Cho tứ diện \(ABCD\), biết \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1; - 1} \right),C\left( {0;0;1} \right)\) và \(G\left( {2; - 1;0} \right)\) là trọng tâm tứ diện. Thể tích khối tứ diện đã cho là:

  • A.

    \(6\)     

  • B.

    \(18\)

  • C.

    \(4\)

  • D.

    \(36\)

Câu 31 :

 Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right)=1\). Tìm $F(x).$

  • A.
     \(F\left( x \right)=\tan x-1\)                                       
  • B.
     \(F\left( x \right)=-\tan x\)                 
  • C.
     \(F\left( x \right)=\tan x+1\)                                      
  • D.
     \(F\left( x \right)=-\tan x+1\)
Câu 32 :

Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\) và \(\int {f\left( x \right)dx =  - 2\int {{{\left( {{t^2} - m} \right)}^2}dt} } \) với \(t = \sqrt {1 - x} \) , giá trị của $m$ bằng ?

  • A.

    \(m = 2\)

  • B.

    \(m =  - 2\)                  

  • C.

    \(m = 1\)         

  • D.

    \(m =  - 1\)

Câu 33 :

Nếu \(\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx}  = 0\left( {0 < a < 2\pi } \right)\) thì giá trị của \(a\) là:

  • A.

    \(\dfrac{\pi }{4}\)       

  • B.

    \(\dfrac{\pi }{2}\)       

  • C.

    \(\dfrac{{3\pi }}{2}\)             

  • D.

    \(\dfrac{\pi }{3}\)

Câu 34 :

Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:

  • A.

    $0$.

  • B.

    $\frac{{64}}{3}$.

  • C.

    $7$.

  • D.

    \(12,5\).

Câu 35 :

Giả sử rằng \(I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx}  = a\ln \dfrac{2}{3} + b\). Khi đó giá trị của \(a + 2b\) là :

  • A.

    $30$

  • B.

    $40$

  • C.

    $50$

  • D.

    $60$

Câu 36 :

Kết quả tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx} \) có dạng \(I = a\ln 2 + b\) với \(a,b \in Q\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    $2a + b = 1$

  • B.

    \({a^2} + {b^2} = 4\)

  • C.

    \(a - b = 1\)

  • D.

    \(ab = \dfrac{1}{2}\)

Câu 37 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Hỏi phương trình $f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    $0$

  • B.

    $1$

  • C.

    $3$

  • D.

    $2$

Câu 38 :

Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan xdx}}{{1 + {{\cos }^2}x}}}  = m\ln \dfrac{3}{2}\). Tìm giá trị của m.

  • A.

    $m = 1$

  • B.

    \(m = \dfrac{1}{2}\)

  • C.

    \(m = \dfrac{2}{3}\)

  • D.

    \(m =  - \dfrac{2}{3}\)

Câu 39 :

Biết rằng$\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c} $, trong đó $a, b, c$ là các hằng số, khi đó tổng $a + b$ có giá trị là:

  • A.

    $ - \dfrac{1}{{13}}$

  • B.

    $ - \dfrac{5}{{13}}$   

  • C.

    $\dfrac{5}{{13}}$       

  • D.

    $\dfrac{1}{{13}}$

Câu 40 :

Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là

  • A.
    \(T=10\).                                 
  • B.
    \(T=9\).                                   
  • C.
     \(T=8\).                                  
  • D.
     \(T=11\).
Câu 41 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình \((S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\) và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n  = \left( {1;m;n} \right)\) là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

  • A.

    \(mn = \dfrac{{276}}{{49}}\)

  • B.

    \(mn =  - \dfrac{{276}}{{49}}\)

  • C.

    \(mn = 4\)

  • D.

    \(mn =  - 4\)

Câu 42 :

Tính \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {4{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x + 3} }}} d{\rm{x}}\). Hãy chọn đáp án đúng.

  • A.

    \(F\left( x \right) = \sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}}  + C\).

  • B.

    \(F\left( x \right) = \sqrt {6 - \sin 2{\rm{x}}} + C\).

  • C.

    \(F\left( x \right) = \sqrt {6 + \cos 2{\rm{x}}}  + C\).

  • D.

    \(F\left( x \right) = - \sqrt {6 - \sin 2{\rm{x}}}  + C\).

Câu 43 :

Cho hàm số \(y=f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x\,\,(C)\). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) và trục hoành. Phát biểu nào sau đây đúng?

  • A.
     \(S=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx+}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}\).                    
  • B.
     \(S=\int\limits_{-1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}\)                                           
  • C.
     \(S=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx-}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}\).              
  • D.
     \(S=\left| \int\limits_{-1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx} \right|\).
Câu 44 :

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và $Ox$.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$  quanh $Ox$ bằng :

  • A.

    \(\dfrac{{81\pi }}{{35}}\)                             

  • B.

    \(\dfrac{{53\pi }}{6}\)                                 

  • C.

    \(\dfrac{{81}}{{35}}\)                                     

  • D.

    \(\dfrac{{21\pi }}{5}\)

Câu 45 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;1;2} \right).$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$

  • A.

    $3.$    

  • B.

    $1.$    

  • C.

    $4.$    

  • D.

    $8.$

Câu 46 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( -1;-2;0 \right),B\left( 0;-4;0 \right),C\left( 0;0;-3 \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

  • A.

     \(\left( P \right):\,\,6x-3y+5z=0\)

  • B.

     \(\left( P \right):\,\,-6x+3y+4z=0\)

  • C.

     \(\left( P \right):\,\,2x-y-3z=0\)

  • D.

     \(\left( P \right):\,\,2x-y+3z=0\)

Câu 47 :

Trong không gian với hệ tọa độ , cho \(A\left( {2;5; - 3} \right);\,\,B\left( { - 2;1;1} \right);\,\,C\left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng (P). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {c > 0} \right)\) thuộc \((\alpha ) : 3x+4y+5z+1=0\) sao cho có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

  • A.

    S=18.

  • B.

    S=32.

  • C.

    S=20.

  • D.

    S=26.

Câu 48 :

Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(M\left( {2;1;5} \right)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\) Tính khoảng cách từ điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng \((P)\).

  • A.
     \(\frac{{17\sqrt {30} }}{{30}}\)                                
  • B.
     \(\frac{{13\sqrt {30} }}{{30}}\)                                
  • C.
     \(\frac{{19\sqrt {30} }}{{30}}\)                                
  • D.
     \(\frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}\)
Câu 49 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

  • A.

    $x - 2y + 3z - 2 = 0$      

  • B.

    $x - 2y - 3z - 2 = 0$     

  • C.

    $x + 2y - 3z - 6 = 0$     

  • D.

    $2x - y - 1 = 0$

Câu 50 :

Cho tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x}  = m.\ln \sqrt 2  + n.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}$, tổng $m + n$

  • A.

    bằng $12$.

  • B.

    bằng $10$.     

  • C.

    bằng $8$.

  • D.

    bằng $6$.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0\)  là phương trình của một mặt cầu.

  • A.

    \(m > 6\)

  • B.

    \(m \ge 6\)

  • C.

    \(m \le 6\)

  • D.

    \(m < 6\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) là phương trình mặt cầu nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

Lời giải chi tiết :

$\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 2\)  và \(d = m\).

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\)

Câu 2 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có phương trình là

  • A.

    \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)

  • B.

    \({(x + 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

  • C.

    \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 3)^2} = 53.\)

  • D.

    \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Tính bán kính mặt cầu \(R = IA\)

- Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát:

Phương trình mặt cầu qua $I\left( {a,b,c} \right)$ và bán kính $R$có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết :

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1,2, - 3} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {1,0,4} \right)$ có bán kính \(R = IA = \sqrt {{{(1 - 1)}^2} + {{(0 - 2)}^2} + {{(4 + 3)}^2}}  = \sqrt {53} \)

Do đó \({(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 3)^2} = 53.\)

Câu 3 :

Nếu đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right.$ thì tích phân $I = \int\limits_0^1 {x.\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} $ trở thành

  • A.

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • B.

    $I = \left. {{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • C.

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

  • D.

    $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{4}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 2} \right)\\{\rm{d}}v = x\,{\rm{d}}x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\rm{d}}u = \dfrac{{{\rm{d}}x}}{{x + 2}}\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.,$ khi đó $I = \left. {\dfrac{{{x^2}\ln \left( {x + 2} \right)}}{2}} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 2}}{\rm{d}}x} .$

Câu 4 :

Chọn công thức đúng:

  • A.

    \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \)

  • B.

    \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b + \int\limits_a^b {vdu} \)

  • C.

    \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_b^a - \int\limits_a^b {vdu} \)

  • D.

    \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_b^a {vdu} \)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \)

Lời giải chi tiết :

Công thức tính tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \)

Câu 5 :

Tọa độ trọng tâm tam giác \(AOB\) với \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;1;0} \right)\) là:

  • A.

    \(\left( {1;1; - 1} \right)\)

  • B.

    \(\left( { - 1;1; - 1} \right)\)    

  • C.

    \(\left( {1;1; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

  • D.

    \(\left( {3;3; - 1} \right)\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác \(G\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\dfrac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

Do \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;1;0} \right),O\left( {0;0;0} \right)\) nên tọa độ trọng tâm tam giác là: \(\left( {\dfrac{{1 + 2 + 0}}{3};\dfrac{{2 + 1 + 0}}{3};\dfrac{{ - 1 + 0 + 0}}{3}} \right) = \left( {1;1; - \dfrac{1}{3}} \right)\)

Câu 6 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(2;-3;-1)\)và \(\overrightarrow{b}=(-1;0;4)\). Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\).

  • A.
     \(\overrightarrow{u}=(13;12;-24).\)              
  • B.
     \(\overrightarrow{u}=(3;-12;16).\)                
  • C.
     \(\overrightarrow{u}=(13;-12;24).\)              
  • D.
     \(\overrightarrow{u}=(13;-12;-24).\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức \(k\overrightarrow a  \pm l\overrightarrow b  = \left( {k{a_1} \pm l{b_1};k{a_2} \pm l{b_2};k{a_3} \pm l{b_3}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

\(\overrightarrow{a}=(2;-3;-1)\), \(\overrightarrow{b}=(-1;0;4)\) \(\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}\Rightarrow \overrightarrow{u}=\left( 4.2-5.(-1);\,\,\,\,4.(-3)-5.0;\,\,\,4.(-1)-5.4 \right)\Rightarrow \overrightarrow{u}=(13;-12;-24)\)

Câu 7 :

Cho tích phân $I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx} $ và $u = {x^2};dv = \cos xdx$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

  • A.

    $I = {x^2}\sin x|_0^\pi  - \int\limits_0^\pi  {x\sin xdx} $

  • B.

    $I = {x^2}\sin x|_0^\pi  + 2\int\limits_0^\pi  {x\sin xdx} $

  • C.

    $I = {x^2}\sin x|_0^\pi  + 2\int\limits_0^\pi  {x\sin xdx} $

  • D.

    $I = {x^2}\sin x|_0^\pi  - 2\int\limits_0^\pi  {x\sin xdx} $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân từng phần như đề bài đã đưa ra và tính.

- Bước 1: Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \sin \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v =  - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \cos \left( {ax + b} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{1}{a}\sin \left( {ax + b} \right)\end{array} \right.\)

- Bước 2: Tính tích phân theo công thức \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\sin \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \) hoặc \(\int\limits_m^n {f\left( x \right)\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \left. {uv} \right|_m^n - \int\limits_m^n {vdu} \)

Lời giải chi tiết :

$I = \int\limits_0^\pi  {{x^2}\cos xdx} $

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \int {\cos xdx} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = \sin x\end{array} \right.$

$ \Rightarrow I = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^\pi  - 2\int\limits_0^\pi  {x.\sin xdx} $ 

Câu 8 :

Cho \(\int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\,\text{d}x}=2.\) Khi đó \(I=\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\,\text{d}x}\) bằng

  • A.
    2
  • B.
    1
  • C.
    -1
  • D.
    4

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Đổi biến \(t={{x}^{2}}+1\), tính $dx$, đổi cận và thay vào tính $I$.

Lời giải chi tiết :

\(\text{Đặt} \, \, \, t={{x}^{2}}+1\Rightarrow \text{d}t=2x\,\text{d}x,\,\,\left\{ \begin{align}  & x=1\to t=2 \\  & x=2\to t=5 \\ \end{align} \right. \\ \Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{f\left( {{x}^{2}}+1 \right)x\,\text{d}x}=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{5}{f\left( t \right)\,\text{d}t}=\frac{1}{2}\int\limits_{2}^{5}{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\frac{I}{2}\Rightarrow I=4.\)

Câu 9 :

Cho hai hàm số \(f,\,\,g\) liên tục trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$ và số thực $k$ tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

  • A.

    $\int\limits_a^b {kf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = k\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $

  • B.

    $\int\limits_a^b {xf\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = x\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} $

  • C.

    $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} = {\rm{\;}} - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} $

  • D.

    $\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} {\rm{\;}} = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} {\rm{\;}} + \int\limits_a^b {g\left( x \right)dx} $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất của tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đáp án A: đúng theo tính chất tích phân.

Đáp án B: sai vì \(x\) không phải hằng số nên không đưa được ra ngoài dấu tích phân.

Đáp án C: đúng theo tính chất tích phân.

Đáp án D: đúng theo tính chất tích phân.

Câu 10 :

Chọn công thức đúng:

  • A.

    \(\int {udv}  = uv + \int {vdu} \)

  • B.

    \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \)          

  • C.

    \(\int {udv}  = \int {uv}  - \int {vdu} \)

  • D.

    \(\int {udv}  = \int {uvdv}  - \int {vdu} \)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nguyên hàm từng phần \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \)

Lời giải chi tiết :

Công thức đúng là \(\int {udv}  = uv - \int {vdu} \).

Câu 11 :

Tích phân \(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}\) bằng

  • A.

     \(\frac{61}{9}\)

  • B.

     $4.$

  • C.

    $61.$

  • D.

     \(\frac{61}{3}\).

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx}  = \dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{a\left( {n + 1} \right)}} + C\)

Lời giải chi tiết :

\(\int\limits_{1}^{2}{{{(x+3)}^{2}}dx}=\frac{1}{3}\left. {{(x+3)}^{3}} \right|_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left( {{5}^{3}}-{{4}^{3}} \right)=\frac{61}{3}\)

Câu 12 :

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\) là:

  • A.

    \(\dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\)

  • B.

    \(\dfrac{{\left| {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}} \right|}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\)

  • C.

    \(\dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{{{\left( {\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} } \right)}^2}}}\)

  • D.

    \(\dfrac{{\left| {{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}} \right|}}{{\left( {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \right).\left( {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \right)}}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Cô sin của góc hợp bởi hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là: \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right) = \dfrac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}\)

Câu 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\left( \alpha  \right)\) cắt mặt cầu $\left( S \right)$ tâm \(I\left( {1; - 3;3} \right)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\left( {2;0;1} \right)\) , bán kính $r = 2$ . Phương trình (S) là:

  • A.

    \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\)                                            

  • B.

    \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\)

  • C.

    \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 18\)                                                

  • D.

    \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Xác định bán kính mặt cầu $(S)$.

+Phương trình mặt cầu: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải chi tiết :

Gọi $E $ là một điểm thuộc đường tròn.

Ta có \(IH = d\left( {I,(\alpha)} \right);\,R = IE;\,r=HE\)

\(IH = \sqrt {1 + {3^2} + {(-2)^2}}  = \sqrt {14} \)

Tam giác $IHE$ vuông tại $H$ nên \(IE = \sqrt {I{H^2} + H{E^2}}  = \sqrt {14 + 4}  = \sqrt {18} \)

Suy ra phương trình mặt cầu $(S)$ là:

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18\).

Câu 14 :

Thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=2\), biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x \(\left( 0\le x\le 2 \right)\) là một nửa đường tròn đường kính \(\sqrt{5}{{x}^{2}}\) bằng :

  • A.

     \(2\pi \)                                             

  • B.

     \(5\pi \)                                             

  • C.

     \(4\pi \)                                             

  • D.
     \(3\pi \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích \(V=\int\limits_{a}^{b}{S\left( x \right)dx}\).

Lời giải chi tiết :

Diện tích nửa hình tròn đường kính \(\sqrt{5}{{x}^{2}}\) là \(S\left( x \right)=\frac{1}{2}.\pi {{\left( \frac{\sqrt{5}{{x}^{2}}}{2} \right)}^{2}}=\frac{5\pi {{x}^{4}}}{8}\).

Vậy \(V=\int\limits_{0}^{2}{S\left( x \right)dx}=\int\limits_{0}^{2}{\frac{5\pi {{x}^{4}}}{8}dx}=\frac{5\pi }{8}\left. \frac{{{x}^{5}}}{5} \right|_{0}^{2}=4\pi \).

Câu 15 :

Cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z = 1,\left( Q \right):x + z + y - 2 = 0\) và điểm \(M\left( {0;1;1} \right)\). Chọn kết luận đúng:

  • A.

    \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)

  • B.

    \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) > d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\)

  • C.

    \(M \in \left( P \right)\)                                              

  • D.

    \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 d\left( {M,\left( Q \right)} \right)\) 

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính khoảng cách từ \(M\) đến hai mặt phẳng trên, từ đó suy ra kết quả.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 - 1 + 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\) và \(d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0\) nên A sai, D sai, B đúng.

Do đó \(M \in \left( Q \right),M \notin \left( P \right)\) nên C sai.

Câu 16 :

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\,\,\left( a<b \right)\) là:

  • A.
    \(S=\int\limits_{b}^{a}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\)               
  • B.
      \(S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}\)                  
  • C.
            \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\)                  
  • D.
    \(S=\int\limits_{b}^{a}{f\left( x \right)dx}\)

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\,\,\left( a<b \right)\) là \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f\left( x \right) \right|dx}\).

Câu 17 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A(1;2;3),\,\,B( - 3; - 4; - 5)\). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là 

  • A.
    \(\left( {1;1;1} \right)\).
  • B.
    \(\left( { - 1; - 1; - 1} \right)\).
  • C.

    \(\left( { - 2; - 2; - 2} \right)\).

  • D.
    \(\left( {4;6;8} \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\):   \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Tọa độ trung điểm \(I\) của đoạn thẳng \(AB\):   \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} = \frac{{1 - 3}}{2} =  - 1\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} = \frac{{2 - 4}}{2} =  - 1\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2} = \frac{{3 - 5}}{2} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow I( - 1; - 1; - 1)\)

Câu 18 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x-y+3z-1=0,\,\,\left( Q \right):\,\,y=0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa A, vuông góc với cả hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) ?

  • A.

     \(3x+y-2z-2=0\)                     

  • B.

     \(3x-2z=0\)    

  • C.

     \(3x-2z-1=0\)             

  • D.
     \(3x-y+2z-4=0\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

\({{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}};{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right]\)

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 2;-1;3 \right);\,\,{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}}=\left( 0;1;0 \right)\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left[ {{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}};{{\overrightarrow{n}}_{\left( Q \right)}} \right]=\left( -3;0;2 \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( R \right)\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( R \right):\,\,-3\left( x-1 \right)+2\left( z-1 \right)=0\Leftrightarrow 3x-2z-1=0\)

Câu 19 :

Hàm số $y = \sin x$ là một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

  • A.

    $y = \sin x + 1$         

  • B.

    \(y = \cos x\)   

  • C.

    \(y = \cot x\)

  • D.

    \(y =  - \cos x\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

$F\left( x \right)$ là nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ nếu $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$

Lời giải chi tiết :

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x \Rightarrow y = \sin x\) là một nguyên hàm của hàm số $y = \cos x$.

Câu 20 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2{\rm{x}} - y + z - 1 = 0\) . Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)

  • A.
    \(M\left( {2; - 1;1} \right)\)
  • B.
    \(N\left( {0;1; - 2} \right)\)
  • C.
    \(P\left( {1; - 2;0} \right)\)
  • D.
    \(Q\left( {1; - 3; - 4} \right)\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) nếu và chỉ nếu \(a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d = 0\).

Lời giải chi tiết :

Dễ thấy \(2.1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) - 1 = 0\)\( \Rightarrow \) điểm \(Q\) thuộc \(\left( P \right)\)

Câu 21 :

Cho hàm số \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt} \). Giá trị nhỏ nhất của \(F\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)  là:

  • A.

    \( - 1\)

  • B.

    \(2\)

  • C.

    \( - \dfrac{{55}}{{32}}\)      

  • D.

    \( - 2\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {t + 1} \right)dt}  = \left. {\left( {\dfrac{{{t^2}}}{2} + t} \right)} \right|_1^x = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \dfrac{1}{2} - 1 = \dfrac{{{x^2}}}{2} + x - \dfrac{3}{2}\)

Hàm số \(y = F\left( x \right)\) là hàm số bậc hai, hệ số \(a > 0\) nên nó đạt GTNN tại \(x =  -1 \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Khi đó $F(-1)=\dfrac{1}{2}+(-1)-\dfrac{3}{2}=-2$

Câu 22 :

Cho nguyên hàm \(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \) . Giả sử đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1} \) thì ta được:

  • A.

    \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} + 1} \right)du} \)          

  • B.

    \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( { - {u^2} + 1} \right)du} \)        

  • C.

    \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)du} \)

  • D.

    \(I = \dfrac{4}{3}\int {\left( {2{u^2} - 1} \right)du} \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right) = \sqrt {3\tan x + 1} \).

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).

Lời giải chi tiết :

\(I = \int {\dfrac{{6{\mathop{\rm tanx}\nolimits} }}{{{{\cos }^2}x\sqrt {3\tan x + 1} }}dx} \)

Đặt \(u = \sqrt {3\tan x + 1}  \Rightarrow {u^2} = 3\tan x + 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{{{\cos }^2}x}}dx = 2udu \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}} = \dfrac{{2udu}}{3}\)\(I = \int {\dfrac{{2\left( {{u^2} - 1} \right)}}{{3u}}2udu = \dfrac{4}{3}\int {\left( {{u^2} - 1} \right)} } du\)

Câu 23 :

 Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;2;3 \right)\). Tìm tọa độ điểm \({{A}_{1}}\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\).

  • A.
     \({A_1}\left( {1;0;0} \right)\).
  • B.
     \({A_1}\left( {0;2;3} \right)\). 
  • C.
    \({{A}_{1}}\left( 1;0;3 \right)\).
  • D.
     \({{A}_{1}}\left( 1;2;0 \right)\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

 Tọa độ điểm hình chiếu trên mặt phẳng đặc biệt

Lời giải chi tiết :

Phương trình mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right):\;x = 0.\)

Tọa độ điểm \({{A}_{1}}\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là: \({A_1}\left( {0;2;3} \right)\).

Câu 24 :

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho hai mặt phẳng  $\left( P \right):x + 2y + 2z + 11 = 0$  và  $\left( Q \right):x + 2y + 2z + 2 = 0$ . Tính khoảng cách giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

  • A.

    $9$      

  • B.

    $6$      

  • C.

    $5$      

  • D.

    $3$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Bước 1: Tìm một điểm nằm trên mặt phẳng này.

- Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng còn lại.

- Bước 3: Kết luận: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Nhận xét $\left( P \right)$  và $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng song song.

Chọn $A\left( { - 11,0,0} \right)$ thuộc $\left( P \right)$ . Ta có

\(d\left( {(P),(Q)} \right) = d\left( {A,(Q)} \right) = \dfrac{{| - 11 + 2.0 + 2.0 + 2|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \dfrac{9}{3} = 3\) 

Câu 25 :

Cho vật thể \(V\) được giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 0\) và \(x =  - 2\), mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) cắt \(V\) theo thiết diện \(S\left( x \right) = 2{x^2}\). Thể tích của \(V\) được tính bởi:

  • A.

    \(V = \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} \)

  • B.

    \(V = \int\limits_0^{ - 2} {2{x^2}dx} \)         

  • C.

    \(V = \int\limits_{ - 2}^0 {2{x^2}dx} \)

  • D.

    \(V = \pi \int\limits_{ - 2}^0 {4{x^4}dx} \)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích vật thể biết thiết diện \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết :

Thể tích vật thể là: \(V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^0 {2{x^2}dx} \) 

Câu 26 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20\).

  • A.

    $I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 5\sqrt 2 \)         

  • B.

    $I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \) 

  • C.

    $I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$          

  • D.

    $I\left( {1, - 2,4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Mặt cầu có phương trình \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R \)

Lời giải chi tiết :

Phương trình có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) với \(a = 1,b =  - 2,c = 4\) và \(R = 2\sqrt 5 \)

có tâm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\).

Câu 27 :

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( P \right):y-2z+1=0.\) Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) ?

  • A.
    \(\vec{n}=\left( 1;-\,2;1 \right).\) 
  • B.
    \(\vec{n}=\left( 1;-\,2;0 \right).\) 
  • C.
    \(\vec{n}=\left( 0;1;-\,2 \right).\) 
  • D.
    \(\vec{n}=\left( 0;2;4 \right).\) 

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(ax+by+cz+d=0\,\,\Rightarrow \,\,{{\vec{n}}_{\left( P \right)}}=\left( a;b;c \right)\)

Lời giải chi tiết :

Vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) là \(\vec{n}=\left( 0;1;-\,2 \right).\)

Câu 28 :

Cho đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ như hình vẽ dưới đây. Diện tích $S$ của hình phẳng (phần gạch chéo) được xác định bởi

  • A.

    \(S = \int_{ - 2}^2 {f(x)dx} \)

  • B.

    \(S = \int_1^{ - 2} {f(x)dx}  + \int_1^2 {f(x)dx}  \)

  • C.

    \(S = \int_{ - 2}^1 {f(x)dx}  + \int_1^2 {f(x)dx} \)

  • D.

    \(S = \int_{ - 2}^1 {f(x)dx}  - \int_1^2 {f(x)dx}   \)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Bước 1: Giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức \(\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|\)

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \)

Lời giải chi tiết :

Nhận thấy phần đồ thị chia làm 2 phần, chú ý đến cận của từng phần.

Phần 1 có cận từ $ - 2$  đến $1$  nhưng trong \(\left( { - 1;2} \right)\), đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành.

Phần 2 có cận từ 1 đến 2 và đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành.

Vậy \(S = \int_{-2}^{ 1} ({-f(x))dx}  + \int_1^2 {f(x)dx} = \int_1^{ - 2} {f(x)dx}  + \int_1^2 {f(x)dx}  \)

Câu 29 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vector $\vec a = \left( {2;3; - 5} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b = \left( {0; - 3;4} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec c = \left( {1; - 2;3} \right)$. Tọa độ vector $\vec n = 3\vec a + 2\vec b - \vec c$ là:

  • A.

    $\vec n = \left( {5;1; - 10} \right)$

  • B.

    $\vec n = \left( {7;1; - 4} \right)$

  • C.

    $\vec n = \left( {5;5; - 10} \right)$

  • D.

    $\vec n = \left( {5; - 5; - 10} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức \(k\overrightarrow a  \pm l\overrightarrow b  = \left( {k{a_1} \pm l{b_1};k{a_2} \pm l{b_2};k{a_3} \pm l{b_3}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

$\vec n = 3\left( {2;3; - 5} \right) + 2\left( {0; - 3;4} \right) - \left( {1; - 2;3} \right) = \left( {5;5; - 10} \right)$

Câu 30 :

Cho tứ diện \(ABCD\), biết \(A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1; - 1} \right),C\left( {0;0;1} \right)\) và \(G\left( {2; - 1;0} \right)\) là trọng tâm tứ diện. Thể tích khối tứ diện đã cho là:

  • A.

    \(6\)     

  • B.

    \(18\)

  • C.

    \(4\)

  • D.

    \(36\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm tọa độ điểm \(D\) dựa vào công thức trọng tâm.

- Tính thể tích khối tứ diện theo công thức \(V = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)

Lời giải chi tiết :

\(G\) là trọng tâm tứ diện nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4{x_G} - {x_A} - {x_B} - {x_C} = 4.2 - 1 - 0 - 0 = 7\\{y_D} = 4{y_G} - {y_A} - {y_B} - {y_C} = 4.\left( { - 1} \right) - 2 - 1 - 0 =  - 7\\{z_D} = 4{z_G} - {z_A} - {z_B} - {z_C} = 4.0 - 0 - \left( { - 1} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow D\left( {7; - 7;0} \right)\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1; - 1} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1; - 2;1} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {6; - 9;0} \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;2;1} \right)\) \( \Rightarrow V = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \dfrac{1}{6}\left| { - 3.6 + 2.\left( { - 9} \right) + 1.0} \right| = 6\)

Câu 31 :

 Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right)=1\). Tìm $F(x).$

  • A.
     \(F\left( x \right)=\tan x-1\)                                       
  • B.
     \(F\left( x \right)=-\tan x\)                 
  • C.
     \(F\left( x \right)=\tan x+1\)                                      
  • D.
     \(F\left( x \right)=-\tan x+1\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Tìm \(F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}\)

+) Sử dụng giả thiết \(F\left( 0 \right)=1\)  tìm hằng số $C.$

Lời giải chi tiết :

Ta có \(F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)dx}=\int{-\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}dx}=-\tan x+C\)

\(F\left( 0 \right)=1\Leftrightarrow -\tan 0+C=1\Leftrightarrow C=1\Rightarrow F\left( x \right)=-\tan x+1\)

Câu 32 :

Cho \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\) và \(\int {f\left( x \right)dx =  - 2\int {{{\left( {{t^2} - m} \right)}^2}dt} } \) với \(t = \sqrt {1 - x} \) , giá trị của $m$ bằng ?

  • A.

    \(m = 2\)

  • B.

    \(m =  - 2\)                  

  • C.

    \(m = 1\)         

  • D.

    \(m =  - 1\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right) = \sqrt {1 - x} \).

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính nguyên hàm: \(\int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( t \right)dt}  = G\left( t \right) + C = G\left( {u\left( x \right)} \right) + C\).

Lời giải chi tiết :

\(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - x} }}\) và \(t = \sqrt {1 - x}  \Rightarrow 1 - x = {t^2} \Rightarrow x = 1 - {t^2} \Rightarrow dx =  - 2tdt\)

\( \Rightarrow \int {f\left( x \right)} dx = \int {\dfrac{{{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}}}{t}\left( { - 2tdt} \right) =  - 2\int {{{\left( {1 - {t^2}} \right)}^2}dt}  =  - 2\int {{{\left( {{t^2} - 1} \right)}^2}dt} }  \)

$\Rightarrow m = 1$

Câu 33 :

Nếu \(\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx}  = 0\left( {0 < a < 2\pi } \right)\) thì giá trị của \(a\) là:

  • A.

    \(\dfrac{\pi }{4}\)       

  • B.

    \(\dfrac{\pi }{2}\)       

  • C.

    \(\dfrac{{3\pi }}{2}\)             

  • D.

    \(\dfrac{\pi }{3}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức nguyên hàm hàm lượng giác \(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C;\int {\cos xdx}  = \sin x + C\) 

Lời giải chi tiết :

Ta có:

 \(\begin{array}{l}\int\limits_0^a {\left( {\cos x + \sin x} \right)dx}  = 0 \Leftrightarrow \left. {\sin x} \right|_0^a - \left. {\cos x} \right|_0^a = 0 \Leftrightarrow \sin a - \cos a + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {a - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {a - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - \dfrac{\pi }{4} =  - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\a - \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow a = \dfrac{{3\pi }}{2}\left( {0 < a < 2\pi } \right)\end{array}\)

Câu 34 :

Tích phân $\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|} dx$ có giá trị bằng:

  • A.

    $0$.

  • B.

    $\frac{{64}}{3}$.

  • C.

    $7$.

  • D.

    \(12,5\).

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phá dấu giá trị tuyệt đối trong từng khoảng rồi tính tích phân.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{c}\int\limits_{ - 1}^5 {\left| {{x^2} - 2x - 3} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^5 {\left| {(x - 3)(x + 1)} \right|dx}  =  - \int\limits_{ - 1}^3 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)dx}  + \int\limits_3^5 {\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)dx} \\ =  - \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)} \right|_{ - 1}^3 + \left. {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} - 3x} \right)} \right|_3^5 = \dfrac{{64}}{3}.\end{array}$

Câu 35 :

Giả sử rằng \(I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx}  = a\ln \dfrac{2}{3} + b\). Khi đó giá trị của \(a + 2b\) là :

  • A.

    $30$

  • B.

    $40$

  • C.

    $50$

  • D.

    $60$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bậc tử lớn hơn bậc mẫu \( \Rightarrow \) Chia tử cho mẫu.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{ - 1}^0 {\dfrac{{3{x^2} + 5x - 1}}{{x - 2}}dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {3x + 11 + \dfrac{{21}}{{x - 2}}} \right)dx}  = \left. {\left( {\dfrac{{3{x^2}}}{2} + 11x + 21\ln \left| {x - 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^0 = 21\ln 2 + \dfrac{{19}}{2} - 21\ln 3 = 21\ln \dfrac{2}{3} + \dfrac{{19}}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 21\\b = \dfrac{{19}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b = 21 + 19 = 40\end{array}\)

Câu 36 :

Kết quả tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{\ln x}}{{x\left( {{{\ln }^2}x + 1} \right)}}dx} \) có dạng \(I = a\ln 2 + b\) với \(a,b \in Q\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

  • A.

    $2a + b = 1$

  • B.

    \({a^2} + {b^2} = 4\)

  • C.

    \(a - b = 1\)

  • D.

    \(ab = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Lời giải chi tiết :

Cách 1: Đặt \(t = {\ln ^2}x + 1 \Rightarrow dt = 2\ln x\dfrac{{dx}}{x} \Rightarrow \dfrac{{\ln xdx}}{x} = \dfrac{{dt}}{2}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {\dfrac{{dt}}{t}}  = \left. {\dfrac{1}{2}\ln \left| t \right|} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2}\ln 2 = a\ln 2 + b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow 2a + b = 1\)

Câu 37 :

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn $f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R$ và $f\left( 1 \right) = 1$. Hỏi phương trình $f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?

  • A.

    $0$

  • B.

    $1$

  • C.

    $3$

  • D.

    $2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Nguyên hàm hai vế tìm f(x).

+) Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình $f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e}$.

Lời giải chi tiết :

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right){\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2018}} = x.{e^x}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in R\\ \Rightarrow \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right){{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}dx}  = \int\limits_{}^{} {x{e^x}dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_{}^{} {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2018}}d\left( {f\left( x \right)} \right)}  = \int\limits_{}^{} {xd\left( {{e^x}} \right)} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - \int\limits_{}^{} {{e^x}dx}  + C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^{2019}}}}{{2019}} = x{e^x} - {e^x} + C\\ \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + C} \right)\\f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow {1^{2019}} = 2019C \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{{2019}}\\ \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e} \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^{2019}} = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x} + \dfrac{1}{{2019}}} \right) = \dfrac{{ - 1}}{{{e^{2019}}}}\\ \Leftrightarrow 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} = 0\end{array}\)

Xét hàm số $f\left( x \right) = 2019\left( {x{e^x} - {e^x}} \right) + 1 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}}$ ta có

$f'\left( x \right) = 2019\left( {{e^x} + x{e^x} - {e^x}} \right) = 2019x{e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

$f\left( 0 \right) =  - 2018 + \dfrac{1}{{{e^{2019}}}} < 0$

Lập BBT ta thấy đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $ \Rightarrow $ phương trình $f\left( x \right) =  - \dfrac{1}{e}$ có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 38 :

Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan xdx}}{{1 + {{\cos }^2}x}}}  = m\ln \dfrac{3}{2}\). Tìm giá trị của m.

  • A.

    $m = 1$

  • B.

    \(m = \dfrac{1}{2}\)

  • C.

    \(m = \dfrac{2}{3}\)

  • D.

    \(m =  - \dfrac{2}{3}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đặt \(\cos x = \tan a\)

Lời giải chi tiết :

Đặt \(\cos x = \tan a \Leftrightarrow  - \sin xdx = \left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)da\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow a = \arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\), khi đó ta có:   \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan xdx}}{{1 + {{\cos }^2}x}}}  = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\dfrac{{ - \left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)da}}{{\tan a\left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)}}}  = \int\limits_{\arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos ada}}{{\sin a}}} \)

Đặt \(u = \sin a \Leftrightarrow du = \cos ada\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow u = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\a = \arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow u = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\) , khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\dfrac{{du}}{u}}  = \left. {\ln u} \right|_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} = \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \ln \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{1}{2}\ln {\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow m = \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Câu 39 :

Biết rằng$\int {{e^{2x}}\cos 3xdx = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c} $, trong đó $a, b, c$ là các hằng số, khi đó tổng $a + b$ có giá trị là:

  • A.

    $ - \dfrac{1}{{13}}$

  • B.

    $ - \dfrac{5}{{13}}$   

  • C.

    $\dfrac{5}{{13}}$       

  • D.

    $\dfrac{1}{{13}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Đối với bài toán này ta có thể tính đạo hàm rồi đồng nhất hệ số tìm \(a,b,c\).

Lời giải chi tiết :

Đặt$f\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {a\cos 3x + b\sin 3x} \right) + c$. Ta có

$f'\left( x \right) = 2a{e^{2x}}\cos 3x - 3a{e^{2x}}\sin 3x + 2b{e^{2x}}\sin 3x + 3b{e^{2x}}\cos 3x $

$= \left( {2a + 3b} \right){e^{2x}}\cos 3x + \left( {2b - 3a} \right){e^{2x}}\sin 3x$

Để $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số ${e^{2x}}\cos 3x$, điều kiện là

$f'\left( x \right) = {e^{2x}}\cos 3x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3b = 1\\2b - 3a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{2}{{13}}\\b = \dfrac{3}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow a + b = \dfrac{5}{{13}}$

Câu 40 :

Biết \(\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=a\ln 5+b\ln 3+c}\) trong đó a, b, c là các số nguyên. Giá trị biểu thức \(T=a+b+c\) là

  • A.
    \(T=10\).                                 
  • B.
    \(T=9\).                                   
  • C.
     \(T=8\).                                  
  • D.
     \(T=11\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.

Lời giải chi tiết :

Đặt \({{x}^{2}}+9=t\Rightarrow 2xdx=dt\Rightarrow xdx=\frac{1}{2}dt\).

Đổi cận:

$\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 9\\
x = 4 \Rightarrow t = 25
\end{array}$

Khi đó, ta có: \(I=\int\limits_{0}^{4}{x\ln ({{x}^{2}}+9)dx=}\frac{1}{2}\int\limits_{9}^{25}{\ln tdt}=\frac{1}{2}\left[ \left. t.\ln \left| t \right| \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{td(\ln t)} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{t.\frac{1}{t}dt} \right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\int_{9}^{25}{dt} \right]=\frac{1}{2}\left[ t.\ln \left. t \right|_{9}^{25}-\left. t \right|_{9}^{25} \right]=\frac{1}{2}\left[ \left( 25\ln 25-9\ln 9 \right)-(25-9) \right]=25\ln 5-9\ln 3-8\)

Suy ra, \(a=25,\,b=-9,\,c=-8\Rightarrow T=a+b+c=8\)

Câu 41 :

Cho điểm $A(0 ; 8 ; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình \((S):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 72\) và điểm $B(1 ; 1 ; -9)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử \(\overrightarrow n  = \left( {1;m;n} \right)\) là véctơ pháp tuyến của $(P)$. Lúc đó:

  • A.

    \(mn = \dfrac{{276}}{{49}}\)

  • B.

    \(mn =  - \dfrac{{276}}{{49}}\)

  • C.

    \(mn = 4\)

  • D.

    \(mn =  - 4\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) biết VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1;m;n} \right)\) và đi qua \(A\).

- \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)\).

- Tìm GTLN của biểu thức \(d\left( {B,\left( P \right)} \right)\) và suy ra đáp án.

Lời giải chi tiết :

$(S)$ có tâm $I(5;-3;7)$ và bán kính $R= 6\sqrt 2 $

Theo đề bài ta có phương trình $(P)$ có dạng $x+m(y-8)+n(z-2)=0$

Vì $(P)$ tiếp xúc với $(S) $ nên ${\rm{d}}(I,(P)) = \dfrac{{\left| {5 + m( - 3 - 8) + n(7 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 6\sqrt 2 $

                                                      $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {5 - 11m + 5n} \right| = 6\sqrt 2 .\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} \\ \Leftrightarrow 25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn = 72(1 + {m^2} + {n^2})\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m + 50n - 110mn - 47{n^2} - 47 = 0\\ \Leftrightarrow 49{m^2} - 110m(n + 1) - 47{n^2} + 50n - 47 = 0(1)\\\Delta ' = 3025{(n + 1)^2} - 49( - 47{n^2} + 50n - 47) = 5328{n^2} + 3600n + 5328 > 0\end{array}$

Phương trình (*) luôn có  nghiệm

$\begin{array}{l}{\rm{d}}(B,(P)) = \dfrac{{\left| {1 + m(1 - 8) + n( - 9 - 2)} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }}\\ =  > d(B,(P))\max  = AB \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{\sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} }} = 3\sqrt {19}  \Leftrightarrow \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}}  = \dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}\end{array}$

Mặt khác $\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }} = \sqrt {1 + {m^2} + {n^2}} $

$\dfrac{{\left| {1 - 7m - 11n} \right|}}{{3\sqrt {19} }}$=$\dfrac{{\left| {5 - 11m + 5n} \right|}}{{6\sqrt 2 }}$

      $\begin{array}{l}72(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 171(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow 8(1 + 49{m^2} + 121{n^2} - 14m - 22n + 154mn) = 19(25 + 121{m^2} + 25{n^2} - 110m + 50n - 110mn)\\ \Leftrightarrow  - 1907{m^2} + 493{n^2} + 1978m - 1126n + 3322mn - 467 = 0(2)\end{array}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow m.n= \dfrac{{276}}{{49}}$

Câu 42 :

Tính \(F\left( x \right) = \int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {4{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x + 3} }}} d{\rm{x}}\). Hãy chọn đáp án đúng.

  • A.

    \(F\left( x \right) = \sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}}  + C\).

  • B.

    \(F\left( x \right) = \sqrt {6 - \sin 2{\rm{x}}} + C\).

  • C.

    \(F\left( x \right) = \sqrt {6 + \cos 2{\rm{x}}}  + C\).

  • D.

    \(F\left( x \right) = - \sqrt {6 - \sin 2{\rm{x}}}  + C\).

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi hàm số dưới dấu nguyên hàm rồi sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $4{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}x + 3 = \frac{{4\left( {1 - \cos 2x} \right)}}{2} + \frac{{2\left( {1 + \cos 2x} \right)}}{2} + 3 = 6 - \cos 2x$

\(\int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {4{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x + 3} }}} d{\rm{x}} = \int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} }}} d{\rm{x}}\) 

Đặt \(u=6-\cos2x =>du=d(6-\cos2x)=2\sin2xdx\)

=> \(\sin2xdx=\dfrac{d(6-\cos2x)}{2}\)

=>\( \int {\dfrac{{\sin 2{\rm{x}}}}{{\sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} }}} d{\rm{x}}\) \({\rm{ = }}\int {\dfrac{{d\left( {6 - \cos 2{\rm{x}}} \right)}}{{2\sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}} }}}  = \sqrt {6 - \cos 2{\rm{x}}}  + C\)

Câu 43 :

Cho hàm số \(y=f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x\,\,(C)\). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) và trục hoành. Phát biểu nào sau đây đúng?

  • A.
     \(S=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx+}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}\).                    
  • B.
     \(S=\int\limits_{-1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}\)                                           
  • C.
     \(S=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx-}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}\).              
  • D.
     \(S=\left| \int\limits_{-1}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx} \right|\).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x),\,\,y=g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a;\,\,x=b\) được tính theo công thức : \(S=\int\limits_{a}^{b}{\left| f(x)-g(x) \right|dx}\)

Lời giải chi tiết :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C) và trục hoành là:

\(S=\int\limits_{-1}^{4}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right|dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right|dx+}\int\limits_{0}^{4}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right|dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx-}\int\limits_{0}^{4}{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x \right)dx}\)

Câu 44 :

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2}\) và $Ox$.  Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay $\left( H \right)$  quanh $Ox$ bằng :

  • A.

    \(\dfrac{{81\pi }}{{35}}\)                             

  • B.

    \(\dfrac{{53\pi }}{6}\)                                 

  • C.

    \(\dfrac{{81}}{{35}}\)                                     

  • D.

    \(\dfrac{{21\pi }}{5}\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Tìm các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục \(Ox\).

- Tính thể tích theo công thức \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} \)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\end{array} \right.\)

$V=\pi {{\int\limits_{0}^{3}{\left( \dfrac{1}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}} \right)}}^{2}}d\text{x }=\pi \int\limits_{0}^{3}{\left( \dfrac{1}{9}{{x}^{6}}-\dfrac{2}{3}{{x}^{5}}+{{x}^{4}} \right)}dx$

$=\left. \pi \left( \dfrac{1}{63}{{x}^{7}}-\dfrac{1}{9}{{x}^{6}}+\dfrac{1}{5}{{x}^{5}} \right) \right|_{0}^{3}=\dfrac{81}{35}\pi $

Câu 45 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho điểm $M\left( {1;1;2} \right).$ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $M$ và cắt các trục $x'Ox,\,\,y'Oy,\,\,z'Oz$ lần lượt tại các điểm $A,\,\,B,\,\,C$ sao cho $OA = OB = OC \ne 0\,\,?$

  • A.

    $3.$    

  • B.

    $1.$    

  • C.

    $4.$    

  • D.

    $8.$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng đoạn chắn.

+) Thay tọa độ điểm M vào phương trình (P) sau đó suy ra mối quan hệ giữa a, b, c.

Lời giải chi tiết :

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right);B\left( {0;b;0} \right);C\left( {0;0;c} \right)\) là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ với các trục tọa độ, khi đó phương trình mặt phẳng $(P)$ là : $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$

$M \in \left( P \right) \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$

Lại có $OA = OB = OC \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|$

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a =  - \,b = c\end{array} \right.$ và $\left[ \begin{array}{l}a = b =  - \,c\\a =  - \,b =  - \,c\end{array} \right.,$ mà $a = b =  - \,c$ không thỏa mãn điều kiện $\left( 1 \right).$

Vậy có $3$ mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 46 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \(A\left( -1;-2;0 \right),B\left( 0;-4;0 \right),C\left( 0;0;-3 \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) nào dưới đây đi qua A, gốc tọa độ O và cách đều hai điểm B và C?

  • A.

     \(\left( P \right):\,\,6x-3y+5z=0\)

  • B.

     \(\left( P \right):\,\,-6x+3y+4z=0\)

  • C.

     \(\left( P \right):\,\,2x-y-3z=0\)

  • D.

     \(\left( P \right):\,\,2x-y+3z=0\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

\(\left( P \right)\) cách đều \(B,C\Leftrightarrow d\left( B;\left( P \right) \right)=d\left( C;\left( P \right) \right)\)

TH1: \(BC//\left( P \right)\)

TH2: \(I\in \left( P \right)\), với I là trung điểm của \(BC\).

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(\overrightarrow{OA}=\left( -1;-2;0 \right)\)

\(\left( P \right)\) cách đều \(B,C\Leftrightarrow d\left( B;\left( P \right) \right)=d\left( C;\left( P \right) \right)\)

TH1: \(BC//\left( P \right)\)

\(\overrightarrow{BC}=\left( 0;4;-3 \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{BC} \right]=\left( 6;-3;-4 \right)\Rightarrow \left( P \right)\) đi qua O và nhận \(\overrightarrow{b}=\left( 6;-3;-4 \right)\) là 1 VTPT

\(\Rightarrow \left( P \right):\,\,6x-3y-4z=0\Leftrightarrow \left( P \right):\,\,-6x+3y+4z=0\)

TH2: \(I\in \left( P \right)\), với I là trung điểm của \(BC\).

\(\begin{align}I\left( 0;-2;-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \overrightarrow{OI}=\left( 0;-2;-\frac{3}{2} \right)\Rightarrow \left[ \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OI} \right]=\frac{1}{2}\left( 6;-3;4 \right) \\~\Rightarrow \left( P \right):\,\,6x-3y+4z=0 \\\end{align}\)

Do đó có hai mặt phẳng thỏa mãn là: $-6x+3y+4z=0$ và $6x-3y+4z=0$.

Dựa vào các đáp án ta chọn được đáp án B.

Câu 47 :

Trong không gian với hệ tọa độ , cho \(A\left( {2;5; - 3} \right);\,\,B\left( { - 2;1;1} \right);\,\,C\left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng (P). Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\,\,\left( {c > 0} \right)\) thuộc \((\alpha ) : 3x+4y+5z+1=0\) sao cho có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (P). Tính giá trị biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

  • A.

    S=18.

  • B.

    S=32.

  • C.

    S=20.

  • D.

    S=26.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Vì  \({d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}\)  nên AB cắt (P) tại điểm I \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI}  =  - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

Vì  \({d_{(A,(P))}} = 3{d_{(B,(P))}}\)  nên AB cắt (P) tại điểm I \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = 3\overrightarrow {BI} \\\overrightarrow {AI}  =  - 3\overrightarrow {BI} \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( { - 4; - 1;3} \right)\\I\left( { - 1;2;0} \right)\end{array} \right.\)

Vì có vô số mặt phẳng (P) chứa C, D và khoảng cách từ A đến (P) gắp 3 lần khoảng cách từ B đến (P) nên I, C, D  thẳng hàng hay \(D = IC \cap (\alpha )\)

+ Nếu \(I\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow  {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 6t\\y = t\\z = 1 - 2t\end{array} \right. \)

Thay các tọa độ trên vào phương trình \((\alpha) \) ta được:

$3\left( {2 + 6t} \right) + 4t + 5\left( {1 - 2t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 12t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

\(\Rightarrow D\left( { - 4; - 1;3} \right)\) ( thỏa mãn )

+  Nếu \(I( - 1;2;0) \Rightarrow {IC} :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 2t\\z = 1 + t\end{array} \right. \)

Thay các tọa độ trên vào phương trình \((\alpha) \) ta được:

$3\left( {2 + 3t} \right) + 4.(-2t) + 5\left( {1 +t} \right) + 1 = 0 $ $\Leftrightarrow 6t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 2$

\(\Rightarrow D\left( { - 4;4; - 1} \right)\) ( loại)

 Vậy \(D\left( { - 4; - 1;3} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4\\b =  - 1\\c = 3\end{array} \right. \Rightarrow S = 16 + 1 + 9 = 26\)

Câu 48 :

Trong không gian \(Oxyz\) cho điểm \(M\left( {2;1;5} \right)\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \(M\) và cắt các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại các điểm \(A,B,C\) sao cho \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC.\) Tính khoảng cách từ điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng \((P)\).

  • A.
     \(\frac{{17\sqrt {30} }}{{30}}\)                                
  • B.
     \(\frac{{13\sqrt {30} }}{{30}}\)                                
  • C.
     \(\frac{{19\sqrt {30} }}{{30}}\)                                
  • D.
     \(\frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Tứ diện vuông O.ABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc và H là trực tâm của tam giác ABC thì OH vuông với với mặt phẳng (ABC)

Lời giải chi tiết :

Vì \(M\) là trực tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow \,\,OM \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \,\,{\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {OM}  = \left( {2;1;5} \right)\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(2\left( {x - 2} \right) + y - 1 + 5\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 5z - 30 = 0.\)

Khoảng cách từ điểm \(I\left( {1;2;3} \right)\) đến mặt phẳng (P) là \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 + 2 + 15 - 30} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {5^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {30} }} = \frac{{11\sqrt {30} }}{{30}}.\)

Câu 49 :

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {0; - 1;0} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt mặt cầu $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là:

  • A.

    $x - 2y + 3z - 2 = 0$      

  • B.

    $x - 2y - 3z - 2 = 0$     

  • C.

    $x + 2y - 3z - 6 = 0$     

  • D.

    $2x - y - 1 = 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu

 + Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$

+ Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right]$ làm véctơ pháp tuyến

Lời giải chi tiết :

$(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I(1;-2;1)$ và bán kính $R = 3$.

Do $(P)$ đi qua $A, B$ và cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất nên $(P)$ đi qua tâm $I$ của $(S)$

Ta có: $\overrightarrow {IA}  = \left( { - 1;1; - 1} \right),\overrightarrow {IB}  = \left( {0;3; - 2} \right)$; $\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left[ {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right] = \left( {1; - 2; - 3} \right)$

Phương trình mặt phẳng $(P): 1(x – 0) – 2(y + 1) – 3(z – 0) = 0$ hay $x – 2y – 3z – 2 = 0$.

Câu 50 :

Cho tích phân $I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)}}{{{{\sin }^2}x}}{\rm{d}}x}  = m.\ln \sqrt 2  + n.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}$, tổng $m + n$

  • A.

    bằng $12$.

  • B.

    bằng $10$.     

  • C.

    bằng $8$.

  • D.

    bằng $6$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm logarit và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm logarit.

- Đồng nhất thức.

Lời giải chi tiết :

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{3\cos x - \sin x}}{{3\sin x + \cos x}}\,\,dx\\v =  - \cot x - 3 =  - \dfrac{{3\sin x + \cos x}}{{\sin x}}\end{array} \right.$.

Khi đó $I = \left. {\left[ { - \left( {\cot x + 3} \right)\ln \left( {3\sin x + \cos x} \right)} \right]} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{3\cos x - \sin x}}{{\sin x}}\,\,dx} .$

$\begin{array}{l} = 4.\ln 2\sqrt 2  - 3.\ln 3 - \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {dx}  + 3.\int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\sin x}}} \\ = 4.\ln 2\sqrt 2  - 3.\ln 3 - \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}} {dx}  + 3\left. {\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{2}}\\ = 4.\ln 2\sqrt 2  - 3.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4} - 3.\ln \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ = 12ln\sqrt 2  - 3\ln 3 - \dfrac{\pi }{4} + 3\ln \sqrt 2  = 15.\ln \sqrt 2  - 3.\ln 3 - \dfrac{\pi }{4}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 15\\n =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow m + n = 12.\end{array}$

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.