Chuyển đổi dạng tham số, chính tắc của phương trình đường thẳng trong không gian - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\).

Để lập phương trình tham số của d, ta thực hiện:

Bước 1: Đặt \(t = \frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) \((t \in \mathbb{R})\).

Bước 2: Lập hệ phương trình biểu diễn x, y, z theo t:

\(\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - {x_0}}}{a}\\t = \frac{{y - {y_0}}}{b}\\t = \frac{{z - {z_0}}}{c}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = at\\y - {y_0} = bt\\z - {z_0} = ct\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Vậy ta được phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\).

Ví dụ minh hoạ:

Cho phương trình chính tắc của d: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}\).

Đặt \(t = \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{1}\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 1}}{1}\\t = \frac{{y - 1}}{{ - 2}}\\t = \frac{{z - 2}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = t\\y - 1 =  - 2t\\z - 2 = t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Vậy phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 - 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Để lập phương trình chính tắc của d, ta thực hiện:

Bước 1: Rút t theo x, y, z.

\(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - {x_0} = at\\y - {y_0} = bt\\z - {z_0} = ct\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - {x_0}}}{a}\\t = \frac{{y - {y_0}}}{b}\\t = \frac{{z - {z_0}}}{c}\end{array} \right.\).

Bước 2: Viết phương trình chính tắc của d.

\(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}( = t)\).

Ví dụ minh hoạ:

Cho phương trình tham số của d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 1 - 3t}\\{z = {\rm{\;}} - 1 + t}\end{array}} \right.\). Lập phương trình chính tắc của d.

Giải:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}\\{y = 1 - 3t}\\{z =  - 1 + t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 = 2t}\\{y - 1 =  - 3t}\\{z + 1 = t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{x - 3}}{2}\\t = \frac{{y - 1}}{{ - 3}}\\t = \frac{{z + 1}}{1}\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{1}\).

Vậy phương trình chính tắc của d là \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 3}} = \frac{{z + 1}}{1}\).