Cách lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương trong không gian - Toán 12

Vecto \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \) có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d được gọi là vecto chỉ phương của d.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = (a;b;c)\) làm vecto chỉ phương. Khi đó:

+ Phương trình chính tắc của d: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) \(\left( {abc \ne 0} \right)\).

+ Phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(1;-3;5) và có một vecto chỉ phương \(\vec u\left( {2; - 1;1} \right)\) là:

\(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 5}}{1}\).

2) Đường thẳng đi qua điểm B(-1;3;6) nhận \(\vec u{\rm{\;}} = \left( {2; - 3;8} \right)\) làm vecto chỉ phương có phương trình chính tắc là:

\(\frac{{x - \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 6}}{8} \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 6}}{8}\).

3) d đi qua điểm M(3;-1;4) có vecto chỉ phương \(\vec u{\rm{\;}} = ( - 2;4;5)\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - 2t}\\{y = {\rm{\;}} - 1 + 4t}\\{z = 4 + 5t}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

4) d đi qua điểm M(1;1;1) có vecto chỉ phương \(\vec u{\rm{\;}} = (2;3;4)\) có phương trình là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).