Cách lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) không song song và điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\).

Để lập phương trình đường thẳng d đi qua M và song song với cả (P) và (Q), ta thực hiện:

B1: Xác định cặp vecto pháp tuyến của (P) và (Q): \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \).

B2: Tìm vecto chỉ phương của d: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = (a;b;c)\).

B3: Lập phương trình đường thẳng d qua M, nhận \(\overrightarrow {{u_d}} \) làm vecto chỉ phương.

+ Phương trình chính tắc của d: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) \(\left( {abc \ne 0} \right)\).

+ Phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(1;2;3) và song song hai mặt phẳng (P): 3x + y – 3 = 0, (Q): 2x + y + z – 3 = 0.

Giải:

Vecto pháp tuyến của (P) là \(\overrightarrow {{n_1}} = (3;1;0)\), vecto pháp tuyến của (Q) là \(\overrightarrow {{n_2}} {\rm{\;}} = (2;1;1)\).

Gọi đường thẳng cần tìm là d, có vecto chỉ phương là \(\vec u\).

Vì d song song với (P), (Q) nên ta có \(\vec u{\rm{\;}} = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = (1; - 3;1)\).

Đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\vec u{\rm{\;}} = (1; - 3;1)\) và đi qua M(1;2;3) có phương trình tham số là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 3 + t}\end{array}} \right.\).