Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài tập Ôn tập chương VI – Góc lượng giác và công thức ..

Câu 6.61 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 6.61 trang 207 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Giả sử phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {ac \ne 0} \right)\) có hai nghiệm là \(\tan \alpha \) và \(\tan \beta \). Chứng minh rằng:

\(a.{\sin ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) + b.\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + c.{\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) = c\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(\tan \alpha  + \tan \beta  =  - \dfrac{b}{a},\tan \alpha \tan \beta  = \dfrac{c}{a}.\)

• Nếu \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0\) thì vế trái của đẳng thức đã cho là

\(\begin{array}{l}a{\sin ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) + b\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) + c{\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)\\ = {\cos ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)\left[ {a{{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) + b\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) + c} \right]\\ = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right)}}\left[ {a{{\tan }^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) + b\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) + c} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Nhưng ta có \(\tan \left( {\alpha  + \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha  + \tan \beta }}{{1 - \tan \alpha \tan \beta }} = \dfrac{b}{{c - a}}\)

(để ý rằng \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) \ne 0 \Leftrightarrow c \ne a\)) nên thay giá trị của \(\tan \left( {\alpha  + \beta } \right)\) vào biểu thức (*), sau khi đơn giản ta được biểu thức đó bằng c.

• Nếu \(\cos \left( {\alpha  + \beta } \right) = 0\left( { \Leftrightarrow \tan \alpha \tan \beta  = 1 \Leftrightarrow a = c} \right)\) thì \({\sin ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) = 1\), nên vế trái của đẳng thức đã cho bằng \(a{\sin ^2}\left( {\alpha  + \beta } \right) = a = c.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua