Câu 17 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao


Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.

LG a

Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.

Giải chi tiết:

Đặt a = OA, b = OB, c = OC. Ta có:

\(AB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} ,BC = \sqrt {{b^2} + {c^2}} ,AC = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có :

\(\cos A = {{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \over {AB.AC}} = {{{a^2} + {b^2} + {a^2} + {c^2} - {b^2} - {c^2}} \over {AB.AC}} = {{2{a^2}} \over {AB.AC}} > 0\)

⇒ A nhọn. Tương tự B, C là các góc nhọn.

Vậy ΔABC có ba góc nhọn.

LG b

Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.

Giải chi tiết:

 

Vì H là hình chiếu của điểm O trên mp(ABC)

nên OH ⊥ (ABC)

Mặt khác OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ BC.

Vậy AH ⊥ BC (định lí ba đường vuông góc), tức

là H thuộc một đường cao của tam giác ABC

Tương tự như trên ta cũng có H thuộc đường cao

thứ hai của tam giác ABC.

Vậy H là trực tâm tam giác ABC

LG c

Chứng minh rằng \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)

Giải chi tiết:

Nếu AH ⊥ BC tại A’ thì BC ⊥ OA’.

Vì OH là đường cao của tam giác vuông AOA’ (vuông tại O) và OA’ là đường cao của tam giác vuông BOC (vuông tại O) nên :

\({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {OA{'^2}}},{1 \over {OA{'^2}}} = {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)

Vậy \({1 \over {O{H^2}}} = {1 \over {O{A^2}}} + {1 \over {O{B^2}}} + {1 \over {O{C^2}}}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài