Câu 8 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt 2 .\)

a. Tính khoảng cách từ S đến mp(ABCD).

b. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mp(SCD)

c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

d. Gọi P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P). Tính diện tích thiết diện.

e. Tính góc giữa đường thẳng AB và mp(P).

Lời giải chi tiết

Gọi H là giao điểm của AC và BD. Do S.ABCD là hình chóp đều nên SH vuông góc với mặt đáy (ABCD).

a. Khoảng cách từ S đến mp(ABCD) là SH.

SAC là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(SH = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 6 } \over 2}\)

b. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.

Ta có: d(AB ; (SCD)) = d(E; (SCD)) = EK

(EK là đường cao của tam giác SEF).

\(EK = {{EF.SH} \over {SF}} = {{a.{{a\sqrt 6 } \over 2}} \over {\sqrt {{{6{a^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 4}} }} = {{a\sqrt 6 } \over {\sqrt 7 }} = {{a\sqrt {42} } \over 7}\)

c. Vì AB và SC chéo nhau, AB // mp(SCD) nên d(AB ; SC) = d(AB ; (SCD)) = \({{a\sqrt {42} } \over 7}\)

Gọi C₁ là trung điểm của SC, do SAC là tam giác đều nên AC₁ ⊥ SC. Mặt khác, BD ⊥ SC, nên (P) chính là mặt phẳng chứa AC₁ và song song với BD. Kí hiệu H₁ là giao điểm của AC₁và SH. Khi đó (P) ∩ (SBD) = B₁D₁, trong đó B₁D₁ đi qua H₁ và song song với BD. Vậy thiết diện của S.ABCD cắt bởi (P) là tứ giác AB₁C₁D₁.

Ta có: BD ⊥ (SAC), B₁D₁ // BD

Nên B₁D₁ ⊥ (SAC), suy ra B₁D₁ ⊥ AC₁.

Từ đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\)

\(A{C_1} = {{a\sqrt 6 } \over 2},{B_1}{D_1} = {2 \over 3}BD\) (vì H₁ là trọng tâm tam giác SAC)

Vì vậy \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{a\sqrt 6 } \over 2}.{2 \over 3}a\sqrt 2 = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 3}\)

e. Trong mp(SAC), kẻ HI song song với CC₁ cắt AC₁ tại I thì HI ⊥ (P) vì SC ⊥ (P).

Ta lấy điểm J sao cho BHIJ là hình bình hành thì BJ ⊥ (P), từ đó \(\widehat {BAJ}\) là góc giữa BA và mp(P).

\(\sin \widehat {BAJ} = {{BJ} \over {BA}} = {{HI} \over {BA}} = {{{1 \over 2}C{C_1}} \over {BA}}\)

\(= {{{1 \over 4}SC} \over {BA}} = {{{1 \over 4}a\sqrt 2 } \over a} = {{\sqrt 2 } \over 4}\)

Vậy góc giữa BA và mp(P) là α mà \(\sin \alpha = {{\sqrt 2 } \over 4},0^\circ < \alpha < 90^\circ .\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.2 trên 26 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 9 trang 126 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với mp(ABC) và nằm về một phía đối với mặt phẳng đó. Trên Bx, Cy lần lượt lấy các điểm B’, C’ sao cho BB’ = a, CC’ = m.
Câu 7 trang 125 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình chóp S.ABC. Gọi K và N lần lượt là trung điểm của SA và BC ; M là điểm nằm giữa S và C.
Câu 6 trang 125 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Chứng minh rằng các tia phân giác ngoài của các góc xOy, yOz và zOx đồng phẳng .
Câu 5 trang 125 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Điểm M nằm giữa A và D, điểm N nằm giữa C và C’ sao cho
Câu 4 trang 125 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD ; P là một điểm thay đổi trên đoạn thẳng AD.
Câu 3 trang 125 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tam giác ABC và hai hình vuông ABMN, ACPQ như hình 134.
Câu 2 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD và DA. Kẻ MM’, NN’, PP’, QQ’ lần lượt vuông góc với CD, DA, AB, BC.
Câu 1 trang 124 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho tam giác ABC và các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.